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À propos des composantes du groupe.
O(2) est un groupe composé de deux composantes :
- Sa composante neutre (un sous-groupe SO(2) qui contient l'élément neutre 1).
- Le reste des éléments.
Si l'on forme un groupe euclidien à 2 dimensions à partir de O(2) :
(112)
ce groupe possède deux composantes. Sa composante neutre est constituée des éléments de SO(2).
(113)
... Nous l'appelons groupe euclidien spécial : avec ce groupe, on ne peut pas inverser l'orientation d'une « lettre », comme R. Le groupe euclidien à deux composantes est appelé groupe complet.
... Par rapport au groupe spécial, sous-groupe du groupe euclidien complet :
(114)
appartiennent à deux espèces distinctes, car on ne peut pas trouver d'élément gEO de ce groupe GSE (ou SE(2)) qui puisse transformer la première lettre en la seconde, et réciproquement.
... Par rapport au groupe complet, ces deux lettres appartiennent à la même espèce, car il existe un élément gE du groupe GE (symétrie, appartenant à la deuxième composante) qui peut transformer l'une de ces deux lettres en l'autre.
De même, le groupe euclidien à 3 dimensions (le groupe euclidien complet) :
(115)
possède deux composantes. La première, la composante neutre, est un sous-groupe formé par les éléments de SO(3) :
(116)
... Nous appelons cette composante neutre le groupe euclidien spécial SE(2). Par rapport à ce groupe, une main droite et une main gauche appartiennent à des espèces distinctes, car aucun élément gSE du groupe GSE ne peut transformer une main gauche en main droite, et inversement.
Par rapport au groupe complet, elles appartiennent à la même espèce.
Une brève remarque :
Quand un homme regarde son image dans un miroir, il voit que sa main gauche et sa main droite sont échangées. Mais pourquoi sa tête et ses pieds ne sont-ils pas eux aussi échangés ?
La réponse est donnée par le mathématicien français J.M. Souriau :
(116b)
Une autre remarque, plus technique. À partir du groupe euclidien orienté, il est possible de construire le groupe euclidien complet, en utilisant un scalaire l = ± 1
(116c)
les éléments pour lesquels l = - 1 appartiennent à la deuxième composante et « inversent l'espace », transformant les objets en leurs images énantiomorphes.
Extension au groupe PT à 4 dimensions.
Partons du groupe orthogonal spécial :
(118)
puis construisons le groupe PT à l'aide de matrices (4,4) :
(119)
Il s'agit d'un groupe à quatre composantes (l = ± 1 ; m = ± 1).
Ce groupe agit sur l'espace-temps par l'action suivante :
(120)
Remarquons que nous pourrions l'écrire :
(121)
Mais cela ne change rien, car l'action fondamentale n'est pas modifiée.
Parmi ces quatre composantes, nous avons la composante neutre, le groupe orienté dans l'espace et dans le temps.
(122)
Nous avons :
(123)
Remarquons que :
(124)
gSOTO est également une matrice orthogonale. Les matrices orthogonales sont définies par cette propriété axiomatique.
... Remarquons que nous allons largement utiliser les propriétés axiomatiques des matrices particulières, bien plus que les matrices elles-mêmes. Avec le groupe SO(2), nous avons écrit explicitement les matrices. Mais pour SO(3) et O(3), nous ne le ferons pas, car cela ne serait ni nécessaire ni utile, et rendrait les calculs inutilement complexes. Il est bien plus efficace et élégant d'utiliser les propriétés axiomatiques des matrices du groupe.
En anticipant, considérons les matrices définies par :
(125)
où :
(126)
Sous forme de matrice diagonale :
(127)
En outre :
(128)
Montrez que ces matrices forment un groupe.
Considérons :
(129)
et formons :
(130)
Le produit de ces matrices de Lorentz généralisées obéit alors à l'axiome.
Montrez que la matrice inverse appartient au groupe :
(131)
Calculez la matrice inverse.
(132) (132b)
correspond au cas particulier :
(132c)
... La forme de cette matrice correspond à la métrique de l'espace-temps (comme nous le verrons à nouveau, avec les matrices de Lorentz, plus loin, en abordant le monde relativiste).
(133)
étant un vecteur espace-temps
Le lien correspond à la forme quadratique élémentaire :
(134)
avec :
(134b)
ce qui donne :
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct étant une « variable chronologique ».
Cela correspond à un espace-temps euclidien, où la vitesse :
(136)
est illimitée.
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
- Its neutral component ( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ).
- The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
...We call it Special Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R. The Euclid's group with its two components is called the *complete group *.
...With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element gEO of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
...With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element gE of the group GE ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the neutral one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
...We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element gSE of GSE which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
gSOTO is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
...Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such generalized Lorentz matrixes obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132) (132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
... The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135) ds2 = dx°2 + dx2 + dy2 + dy2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.