מסמך ללא שם
30 בדצמבר 2009
המכור את פניית בוי שיצרתי
הנה זה: היצירת של מטר ארבעים וארבעה מטרים עברה היום לבלגיה, נקנית על ידי רופא, פיר אגב קורא נאמן של הסדרות של לנטורלו, שידע את היצירת כבר מהקריאה של האלבום "טופולוגיקון", שמאפשר להורדה חינמית באתר של "ידע ללא גבולות" בכתובת:
****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm
"טופולוגיקון" מוזכר בדף ויקיפדיה, אך הקישור אינו מוביל לדף ההורדה של אתר ידע ללא גבולות, מה שמאוד מוזר. מישהו אולי יוסיף את הקישור, אך אני לא יכול לעשות זאת בעצמי, לאחר שהופסקתי לצמיתות מוויקיפדיה באוקטובר 2006 (בגלל חשיפת זהות מתרום, לשעבר תלמיד של נורמל סופריור, שזכותו בדוקטורט בפיזיקה תיאורטית על סופר-רצים אפשרה לו להכנס למשרה במאגר).
היצירה הייתה מוצגת במשך עשרים וחמש שנים ב"חדר פאי" בקיסר הגלוי בפריז. אני חזרתי עליה לפני מספר שנים, בתקופת הרצון של המנהל של הקיסר להכניס amphitheater קטן עץ לחדר זה. בחרתי להחזיר את היצירה, לפני שהיא תסתיים כמונחת, מאוחזת באחד המאגרים, כ"מדע שמשתמשים בו".
כשערכו בקיסר תערוכת מוקדשת ל теוריות שונות לגבי בניית הפירמידות, הערבות יצרו מודל יפה, בגודל 50 ס"מ על 50 ס"מ, המראה את פינות המדרון האבן. רציתי להחזיר את היצירה, אך עד כה לא ידוע מה קרה לה. אולי כמדע שמשתמשים בו היא נפלה לסל הקטנוע. אולי קורא יידע להודיע לי?
כשמבקרים בעיר המדע, מרגיעים את ההתקפה של הווירטואלי, של מסכים פלזמה המציגים דברים שונים. עד כדי כך שנרגיש שמדובר: "למה להיראות במקומות אלו, כשאני יכול להכנס לכל דבר זה בבית שלי, דרך האינטרנט?"
עולם וירטואלי, מדע שמשתמשים בו, האם יש לך נפש?
זה מה שמתאים לתקופתנו.
מהי חשיבות פניית בוי במתמטיקה? בקטגוריה של פנים סגורות דו-ממדיות, ללא נקודות סינגולריות, מוצאים רק ארבע:
| - הספירה | - התורוס | - בקבוק קליין | - פניית בוי |
|---|
שלושת הראשונים היו מוכרות לנו זמן רב. הרביעי היה יותר מוזר. רק בסוף שנות ה-70, כשאני היה מורה לפסיפס באקדמיה לאמנות באקס-אן-פרובנס, יצרתי ההצגה הראשונה של הפנים, עם שתי משפחות של עקומות, שמשוות לקבוצות מערבי-מקבילי של הספירה S2. כפי שנראה בסרט הקומיקס, הפנים שנוצרה על ידי המתמטיקאי הגרמני ורנר בוי, תלמידו של הילברט, היא תוצאה של יישום של נקודות של ספירה אחת על עצמה, כאשר כל נקודה מותאמת לנקודות ההפוכות לה. כך הוקף הצפוני מותאם להוקף הדרומי. המערביים של הספירה "מתפתלים על המערביים של בוי".
הרגשתי מיד לשייך אחת מהמשפחות של עקומות עם אליפסות.
באותה תקופה היה הצעיר ז'רום סוריאו יכול להשתמש באפל 2 של אביו, המתמטיקאי. פעם אמרתי לו:
*- האם תרצה לעשות לי עבודה שתקבילה אותנו לפרסום בתחום המתמטיקה? *
וז'רום ענה:
*- מי אני צריך להרוג בשביל זה? *
מדובר רק במדידה של אליפסות, באמצעות מד-זווית ומד-מידה, כדי ליצור עקומות, ואז להציגן באמצעות סדרת פורייה. הוא עשה את העבודה ביממה אחת. הכתבה לרשומות של האקדמיה למדעים בפריז עברה ללא קושי. ראה השכפלת הכתבה
המשוואות אפשרו לקולונה, המנהל של המעבדה הראשונה של תמונות סינתטיות באקול פוליטניקה בפריז, לייצר את התמונות הראשונות של היצירה, אך ללא ציון המשוואות שused (התנהגות נפוצה מאוד ב"קהילה המדעית").
תמונה שנוצרה מההצגה של JP PETIT - ז'רום סוריאו, עם שלושת הפלגים הגרועים שלה, שנובעים מחוסר סיום בהצגת פורייה.
בזמן מאוחר יותר התפוצצה ההצגות פרמטריות. להלן זו של R. בריינט:
הגילוי השני, של פרמטריזציה באמצעות מערביים אליפטיים, אפשר למתמטיקאי אפריה, תלמידו של המתמטיקאי ברנרד מורין, מסטרסבורג, לבנות את ההצגה הראשונה של הפנים בצורה מפורשת, מדרגה ששית. (בתזה שלו הוא מוסמך את המצאת זו לפסיפס מקס ז'וז, דוקטור בתקיעות בכסף):
f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0
מסובך למדי.
תמונה של פניית בוי, שנוצרה באמצעות ההצגה המפורשת של אפריה, עם "מערביים אליפטיים" של J.P.Petit
באתר ויקיפדיה, בדף זה, תמצאו אנימציה, שמבוססת על ה"פלייבוק" שנמצא ב"טופולוגיקון" (1988). אותו דבר לגבי ההצגה הפוליאדרית של הפנים (המצאת נוספת של מוסר, גם היא מופיעה באלבום), עם זוויות מעובדות.
ב-1988 הציג המתמטיקאי בrehm הצגה פוליאדרית אחרת, עם עשרה פאות, ומשפט מציין שהיצירה לא יכולה להיות פחות מ-9 פאות...
לכל אחד טעם וצבע
נחזור להצגה של אפריה, היחידה הידועה של הצגה מפורשת. למה הפנים הזו כל כך לא מדויקת (ולכן גם המשוואה שלה כל כך מורכבת)?
אפריה, מוביל על ידי מורין, לא השתמש בסימטריה התלת-ממדית של היצירה. המשוואה מציבה את ציר OZ כציר סימטריה; זהו טעות. תוצאה טובה יותר הייתה מתקבלת אם נבחר את הווקטור (1,1,1) כציר סימטריה. הסימטריה התלת-ממדית הייתה מובילה למשוואה שמשתנה רק בהחלפת הקואורדינטות x, y, z. יתר על כן, אם נשים את ראשית הקואורדינטות בנקודה השלישית, ונחליט שהשלושה מישורים משיקים לפנים הם מישורים עיקריים, נמחק את האיברים מדרגה שנייה, ראשונה ואפס, ונפחית את האיבר מדרגה שלישית ל:
x y z
סימטריה כזו מופעלת בפנים שנמצאה ב-1844 על ידי שטיינר בעיר רומא, שנקראה לאחר מכן "פניית רומא של שטיינר", שמשוואתה היא:
הבה נביט בפנים:
פניית רומא של שטיינר
היא מורכבת גם כן מאליפסות, כמו הפנים האחרונה, והיא חד-צדדית, ולכן לא ניתנת לאכילה:
משפחות האליפסות של פניית רומא
פניית רומא אינה "ימנית או שמאלית", בעוד שקיימות שתי גרסאות של בוי, אנטיומורפיות, מראה של מראה. בוי "ימנית" ו"שמאלית". ב-2003 (כמה מהר הזמן עובר) הראיתי, במהלך סמינר שנערך במחוז הגאומטריה של מונד-סן-ז'רומ, שמאפשר להפוך בוי ימנית לבוי שמאלית דרך פניית רומא של שטיינר.
/legacy/science/maths_f/Crosscap_Boy1.htm
המחבר מרצה בסמינר במתמטיקה
חלק מהקוראים מצליחים לשלוט בכלים של אינפורמציית גרפית. עקבת אחרי התיקייה המצוינת, ובהצגת ותיחול, אפשר ליצור את האנימציה. אם מישהו מתלהב...
זה מצחיק, האנימציות. יצרתי את האנימציה הזו עם תוכנת CAD שיצרתי: Screen, שמציגה את שלב המרכז של הפיכת הקוביה (שם גרסה פוליאדרית של המודל עם ארבע אוזניות של מורין)
השלב המרכזי של הפיכת הקוביה
היה אפשר לעשות עוד הרבה דברים בתחום הזה. אני רוצה רק להציע דרך למועמדים למדעי מתמטיקה. קיימת הצגה מפורשת של פניית בוי שמערבייה שלה הן אליפסות, והמשוואה הזו תיכתב בהיסטוריה של המתמטיקה, כמו גם שם של מי שיפתח אותה מהכפפה. היא עדיין לא נמצאה. נקודת התחלה: להשתמש בסימטריה התלת-ממדית כפי שציינתי למעלה.
בהצלחה למשתמשים...
כך נעלמה פניית בוי שפרצה את החדר פאי בקיסר הגלוי לבלגיה. היה לי מוטיב להפוך אותה לפסיפס מונומנטלי, "נכנס", בגובה עשרים מטרים. זה לפחות היה נראה טוב. אבל לא, פסיפסים של מכולות עירבו את המקום בפסיפסים ללא נפש, ללא מבנה, ללא ערך כלשהו.
אבל לא רציתי לשמור תמונה של היצירה המופלאה הזו. תבינו למה ---
תמונות