קבוצות ופעולה קואדיאינטית של מומנטום פיזיקה

קבוצות ופעולה קואדיאינטית של פיזיקה תנע

איבר gp של חבורת פואנקרה Gp מוגדר על ידי סדרת פרמטרים {pi}, שמספרם, כפי שכבר אמרנו, מייצג את *ממד החבורה *. המטריצה d**g (g = e) **מורכבת מהكمויות {dpi} . לכן הפעולה הנ"ל היא מסוג:
(81)

במילים אחרות, לקבוצה של סקלרים dpi מותאם מספר שווה של סקלרים dpi'. הדואליות מבוססת על הנחת אי-תלוי של סקלר, לפי:

(82)

כאשר n הוא ממד החבורה (עשר, לחבורה של פואנקרה). הסקלרים Ji מייצגים את המרכיבים של התנע, באותו מספר.

נחליט לפרק את התנע **J **לשני עצמים. הראשון יהיה מטריצה M אנטי-סימטרית מסדר (4,4), כלומר בעלת שישה מרכיבים, והשני יהיה "וקטור ארבעי" P, מטריצה מסדר (4,1):

(83)

(84) **J **= { M , p , E} = { M , P } נכתוב את המכפלה הסקלרית בצורה:

(85)

Tr פירושו "הטראס של", ונקבל עוד:

(86)

צורה ליניארית שאי-השינוי שלה מבטיח את הדואליות.

עם:

(87) (87b)

(87c)

אבל GG = 1, ולכן זה שווה:

(88)

נזהה את האיברים ב-y (89)

במילים אחרות:

(90)

----> שוב מופיעים פרטים חישוביים מטריציוניים. אם תרצו, לחצו כאן כדי לעבור ישירות לתוצאה

בתוך הטראס ניתן לבצע תמורה מעגלית של האיברים.
(90a)

(90b)

(90c)

האיבר השני בצד הימני שווה למכפלה של מטריצה שורה במטריצה עמודה.

זה שווה לטראס של המכפלה ההפוכה (למטה, סכמטי, המכפלה של מטריצה שורה במטריצה עמודה):
(90d)

בתוך הטראס אפשר לבצע תמורה מעגלית:
(90e)

מכאן:
(90f)

(90g)

כאן נשתמש שוב בתוצאה על טראסים של מטריצות שמהוות מכפלה של מטריצה אחרת במטריצה סימטרית.

כל מטריצה יכולה להפוך לסימטרית או אנטי-סימטרית. יתרה מכך, הטראס של מכפלה של מטריצה במטריצה סימטרית הוא אפס.
(90h)

ניתן ליישם את זה על המטריצה (90i), שכן לוקחים את הטראס
(90j)

(90k) = סימ ( ) + אנטי-סימ ( )

אבל:
(90l)

לכן
(90m) (90n)
(90o)
(90p)

וכן:
(90q)

לסיום:
(90r)

בצירוף והחלפת הסימן של ה-Prime אקבל את פעולת החבורה שלי:

תמונות