גאומטריה - פני שטח בוי מודל פוליאדרי - פני שטח רומני של שטיינר

איך להפוך שטח קרוס קאפ למשטח בוי (ימני או שמאלי, לפי בחירה)

בדרך של פני שטח רומני של שטיינר.

איטלקית: אנדרא סמבוסטטי, אוניברסיטת רומא

../../Crosscap_Boy1.htm

27 בספטמבר - 25 באוקטובר 2003

דף 4

מציגים את המודל מנקודת מבט נוספת:

טבלה 14: חוזרים על אותה פעולה, יוצרים את האוזן השלישית של העקומה של חיתוך עצמית. במודל הפוליאדרי, העקומה הזו נראית כשלושה ריבועים עם קודקוד משותף: הנקודה התלת-ערכית T.

טבלה 15: סובבים את החפץ ומקבלים את הגרסה הפוליאדרית של שטח בוי שהצגתי ב-Topologicon (שם אפשר למצוא גם מדריך למבנה שמאפשר לבנות אותו).

טבלה אחרונה: ניסיתי להמחיש את שטח שטיינר בזמן שהוא מתפתל ומשתנה למשטח בוי.

רואים שכאשר מציירים אותו בצורה "מעגלית", נדרשת תקווה רבה כדי להבין אותו. עינינו מרגיעות מאוד כשמדובר בהבנת עצם שבו על אותו קו ראייה מופעלות יותר משני שטחים. מכאן העניין של המודל הפוליאדרי, שמאפשר לכל אחד, אם רק ינסה לבנות את המודל בעצמו, להבין את ההטמעות שנדונו כמורכבות בגאומטריה. נציין בדרכו שבעזרת זוגות שונות של נקודות קדומות, מקבלים שטח בוי "ימני" או "שמאלי" (הגדרות שלמות ורשות). המישור הפרויקטיבי מוטמע במרחב באמצעות שתי נציגות "אנטי-אומורפיות" סימטריות. רואים גם שהמעבר מ-Boy ימני ל-Boy שמאלי אפשרי דרך מודל "מרכזי" שהוא שטח רומני של שטיינר.

למרות שסביר מאוד שהאיורים האלה יפורסמו בכתבי עת כמו Pour la Science או La Recherche. אך במשך עשרים שנה מונע ממני הפרסום בכתבי עת אלו בגלל "הטיות אופולוגיות". תודה, רעיונות של הרב' תיס ופילהג' בולאנגר. לא מונה את המאמרים מהסוג הזה ששמתי לרשות כתבי העת, שנקבלו בדרכם היקרה. בסופו של דבר מתרגלים לסטטוסם של מוסר.

כשאגב, קיים "פרס אלמברט" שנועד להעניק לכותבי ספרים של תיאור מדעי. הסיפור נאמר לי על ידי חבר בוועדה שנקראה להחליט לא מי יקבל את הפרס (יש גם נושאים של כסף מאחור). דיאלוג:

• אז למה לא נותנים את הפרס ל- Petit? כתב יצירות חשובות כמו "Géométricon", "Trou Noir" ו-"Topologicon".

• כן, אבל הוא לא עשה רק את זה.

• על מה אתה מדבר?

• הוא גם כתב את "Mur du Silence".

• אה, אז אז...

כן, "Mur du Silence", שפורסם ב-1983, הוא אלבום המוקדש ל-MHD. וכמו כל אחד יודע, מדע מחריף זה מאפשר למסוקים להתקדם במהירות על-סונית בלי להעניק "בנג".

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

יש לי גרסה מרהיבה של "ההפיכה של הקוביה", שזו לא הגרסה הפוליאדרית של הגרסה של מורין. כל זה מהתוכנית שלי. יום אחד...

22 באוקטובר 2003: לא נאבקים יותר מדי בדפים אלו, אם אפשר לסמוך על המונה. ביום שני, 13 באוקטובר 2003, הרצתי הרצאה ב-CMI (מרכז למתמטיקה ומחשבים של Château-Gombert-Marseille) בהזמנה של טרוטמן. בתקופת ההרצאה הצלחתי להוציא אוסף של כ-30 מודלים מנייר, שיום אחד תקבלו את הפרסום הראשון שלהם, שכן נלקחו צילומים על ידי כריסטוף טרדי.

כשנותנים הרצאה, מתרגלת אווירה מסוימת. בתמונה למטה, הנה גאומטריסט שמציג את תחושת הספקתו.

ברקע, חלק מהמודלים המוצגים עם עזרת שותף ארוך שנים שלי, בוריס קולב, חבר בפרוייקט, גם הוא גאומטריסט. ברגע מסוים שאלתי:

• כמה מכם כבר ראו שטח רומני של שטיינר? הרים את היד.

אף אחד לא ראה אותו. לכן נראה לי שמתאים להציג את העצם הזה, עם תוכנית וירטואלית, על המחשב הנייד שבעצמי, תוכנית שנוצרה בהשראת כריסטוף טרדי, מהנדס, ופרדריק דסקמפ, מהמכון לאו-לנג'evin בגרנובל (ILL). ברור שההצגה הזו מבלבלת את הקהל, שפונה פחות לראות שטחים מתמטיים שעושים סיבובים לפי רצונם.

שתי טבלאות נייר, שמסודרות בפינה הקדמית, אפשרו להציג את כל סדרת המודלים לפי הסדר הלוגי. המודלים הירוקים והצהובים מציירים בצורה פוליאדרית את כלי היצירה וההפרדה של זוג נקודות קדומות. החפץ הלבן הנמצא במרחק הוא גרסה פוליאדרית של שטח קרוס קאפ, שמתפתח ראשית לגרסה פוליאדרית של שטח רומני של שטיינר, לאחר מכן, מטר אחד קדימה, לפי בחירה, ל-Boy ימני או שמאלי.

הניתוח של המודלים מעלה מגוון תובנות בקרב הקהל. גאומטריסט אחד שאל:

• אם נכון שבעקבות המודלים בסדר זה אפשר לעבור מ- Cross Cap ל-Boy, נראה שבעקבות התהליך ההפוך אפשר להפוך Boy ל- Cross Cap.

השבתי חיובית. מוכן יותר, שותפי המשוב שאל:

• אז אם נעצור בשלב שטח רומני של שטיינר, אפשר להחזיר את זה ל-Boy, אך מופנה באופן הפוך מהתחלתי.

הסכמתי שוב. אך unfortunately, אף אחד לא יופיע כדי להסביר את העולם המוזר הזה שבו מותר להטמעות של שטחים סגורים להכיל נקודות קדומות, שנוצרות או נפרדות בזוגות, שקבוצתן מהווים סוג של הרחבה של עולם ההטמעות. המונח "summersion" נראה לי מתאים. אם קורא יכול להסביר משהו, הוא מוזמן.

קוווי עקמומיות מרכזים בנקודה קדומה.

נחשב אותה על ידי סיכום הזוויות בקודקוד ומשווים את הסכום לערך שמתקבל במקרה של המישור האוקלידי: 2π.

בפינה השמאלית העליונה אפשר לראות אחת מהרבות של נציגות פוליאדריות אפשריות של נקודה קדומה. "לפרק" את השטח מוביל לסכום זוויות שמעל הערך 2π ב-2α. מכאן מסקנה שהעקמומיות הזוויתית המרכזת סביב הנקודה C היא -2α. אם הזווית α שווה ל-π/2, אז העקמומיות השלילית היא -π (האיור בפינה השמאלית התחתונה). למעשה, עקמומיות של נקודה קדומה יכולה לקבל ערכים אינסופיים. בפינה הימנית התחתונה אנו מודגשים את הסכום הזוויתי והעקמומיות הופכת להיות < -π (העלינו את העקמומיות השלילית).

בעקבות פעולה הפוכה, אפשר להגיע למצב מפתיע: אפשר לגרום לכך שהעקמומיות (הזוויתית) המרכזת ב-C תהיה ... אפס:

נתחיל מנציג פוליאדרי של שטח קרוס קאפ עם שתי נקודות קדומות, כל אחת בעקמומיות שווה ל- -π:

באיור זה יש שמונה "פוזיצונים" בעלי ערך +π/2. נוסיף ארבעה "פוזיצונים" נוספים בעקמומיות +π/4 וארבעה "ניגאקוני" בעקמומיות -π/4.

בנוסף שתי נקודות קדומות בעקמומיות -π.

סה"כ: 2π

חלוקה של ערך "עקמומיות כוללת" זה ב-2π מחזירה את ערך תכונת אויילר-פואנקרה של כל נציג של המישור הפרויקטיבי (או של שטח בוי).

במהלך ההרצאה התייחסתי לאמנות והדרך להחלפת שתי נקודות קדומות של שטח קרוס קאפ באמצעות הפיכת הכדור. לא זוכר אם הכנסתי את זה באיזו שהיא נקודה באתר שלי. זה כל כך מסובך. יתכן שאצטרך לחפש, אחרת אוסיף. זה מרגש. המקרה הוא שפעולה זו לא נראתה טוב לאדם אחד שהשתתף בהרצאה:

• לא רואה למה Petit משתמש בכלי כה מורכב כדי להוכיח את הסימטריה שמחברת את שתי נקודות הקדומות של קרוס קאפ. אפשר לעשות זה הרבה יותר פשוט.

והוא צייר על הלוח את ציור כדור דחוס בין שני מקלות שמאוחדים, שנותן בפועל קבוצה של חיתוך עצמית בצורת קטע, עם שתי נקודות קדומות בקצותיו, כמו שטח קרוס קאפ. לרוע המזל, והאיש הנדון הבחין בזה, זהו לא שטח קרוס קאפ.

• מה זה אם לא? שאל אחד.

זה פשוט הטמעת כדור עם שתי נקודות קדומות. אם מקרבים את שתי הנקודות לנקודה אחת, מקבלים קו חיתוך עצמית שמתפצל למעגל. ומקבלים (בפינה הימנית התחתונה) הטמעת כדור שנותרה לנו להפוך ל-embedding סטנדרטי. גם אפשר להציג את השטח בצורה פוליאדרית:

מדובר בשטח דו-צדדי עם עקמומיות כוללת של 2π.

לסיכום, אפשר להנות מאוד מה"summersion" הזו. נבחן הטמעת טורוס שנוצרת על ידי סיבוב הסמל של "אינסוף" סביב ציר:

הטכניקה של הורדת נקודות קדומות לנקודה אחת מאפשרת להגיע במהרה ל-embedding הסטנדרטי של הטורוס, כפי שמוסבר בציורים בסדרה למעלה.

אבל הדברים לא תמיד פשוטים וברורים. נניח שניקח כדור דחוס בין שני קטעים, שפעם אחת הם קצרים מהקוטר. עדיין מקבלים שתי נקודות קדומות.

מכיוון שהשטח מכיל סרט מביוס, הוא חד-צדדי. הצבנו לצד מודל פוליאדרי שמאפשר לחשב את העקמומיות הכוללת שלו. נמצא אפס. אם לא טועה, זה אמור להיות בקבוק קליין. בדרך כלל מכירים רק את ההטמעת הקלאסית, שבה קו החיתוך העצמי הוא מעגל פשוט. אך יש גם אחרות, כמו זו כאן. אודה שאינני מצא עדיין את הדרך להפוך אותה לבקבוק קליין רגיל. בצד שני, גם לא יודע אם "ההטמעת" הזו וההטמעת הקלאסית נמצאות באותה קבוצת הומוטופיה (למשל, עבור הכדור, יש רק אחת). אפריורי, לא בהכרח: הטורוס יכול להוטמע ב-4 דרכים שונות במרחב תלת-ממדי, שלא ניתן להמיר אחת את השנייה באמצעות הומוטופיה רגילה. בהמתנה לגלות אם אפשר או לא במקרה הזה, הצלחתי להפוך אותה על ידי ייצור שתי נקודות קדומות נוספות, מה שנותן שתי קרוס קאפ מחוברות במעגל. כשפוצלים אותן, מוצאים שהמאפיין של אויילר-פואנקרה הוא אפס.

השטח המוזר הזה אמור להפוך לאחת מ-4 ההטמעות האפשריות של בקבוק קליין, אך איזו? בכל מקרה, הנה אחת שנוצרה על ידי סיבוב של 8 סביב ציר, תוך כדי שהוא מבצע חצי סיבוב על עצמו:

דף קודם

חזור לרשימת "ההטמעה של קרוס קאפ ל-Boy"

חזור לחלק "חדשות" חזור לחלק "מדריך" חזור לדף הראשי

מספר ביקורים מ-25 נובמבר 2004:

תמונות