גאומטריה של משטחים - מודלים מתמטיים

איך להפוך משטח קס-קף למשטח בוי (ימני או שמאלי, לפי בחירה)
בדרך של משטח סטינר הרומני.

איטלקי: אנדרא סמבוסטטי, האוניברסיטה של רומא

../../Crosscap_Boy1.htm

27 בספטמבר - 25 באוקטובר 2003

דף 4

מציגים את המודל גם מנקודת מבט נוספת:

טבלה 14: חוזרים על אותה פעולה שוב ושוב, יוצרים את האוזן השלישית של העקומה של חיתוך עצמי. במודל הפוליאדרלי, העקומה האחרונה נראית כמו שלושה ריבועים עם קודקוד משותף: הנקודה המשולשת T.

טבלה 15: סובבים את הרכיב ומציגים את הגרסה הפוליאדרלית של משטח בוי שהצגתי ב-Topologicon (שם ניתן למצוא גם דף תכנון שמאפשר לבנות אותו).

טבלה אחרונה: ניסיתי להמחיש את משטח סטינר בזמן שהוא מתעקל ומתפצל למשטח בוי.

רואים שבעצם, כשמעריכים אותו בצורה "מעגלית", נדרשת תקופת תרגול ארוכה כדי להבין אותו. העין שלנו מרגישה לא נוחה מאוד כשמדובר בהבנת עצם שבו על אותה קו ראייה נחתכים יותר משני שטחים. מכאן העניין במודל הפוליאדרלי, שמאפשר לכל אחד, במיוחד אם מנסה לבנות את המודל בעצמו, להבין את ההעתקות שבעצם נחשבות מורכבות בגאומטריה. נציין בדרכו של הערה שבעבור זוגות נקודות קדומות שונות, מקבלים משטח בוי "ימני" או "שמאלי" (הגדרות שלמות ורשות). המישור הפרויקטיבי מונח במרחב דרך שתי ייצוגים "אנטי-אומורפיים" מראים אחד את השני. לכן רואים גם שניתן לעבור ממשטח בוי ימני למשטח בוי שמאלי דרך מודל "מרכזי" שמכיל את משטח סטינר הרומני.

למרות שמאוד נחמד היה אם השרטוטים האלה היו מפורסמים בכתבי עת כמו Pour la Science או La Recherche. אך במשך עשרים שנה אסרו עליה את הפרסום בכתבי עת אלו בגלל "הטיות אופיוניות". תודה, שרים הרו תיס ופיליפ בולאנגר. לא מונה את המאמרים של סוג זה שהציעתי לכתבי עת אלו ושהם נדחו בלב טוב. בסופו של דבר מתאימים לסטטוסם של מוסר.

כנימוס, קיים "פרס אלמברט" המוקדש להערכה של 저ות ספרי הובלה מתמטית. הסיפור הוראות לי על ידי חבר בוועדה שנקראה להחליט למי יינתן הפרס (יש גם נושאים של כסף בצד). דיאלוג:

• אז למה לא נתן את הפרס לפיט? הוא כתב יצירות חשובות כמו "Géométricon", "Trou Noir" ו-"Topologicon".

• כן, אבל הוא לא עשה רק את זה.

• על מה אתה מדבר?

• הוא גם כתב את "Mur du Silence".

• אה, אז אז...

כן, "Mur du Silence", שפורסם ב-1983, הוא אלבום מוקדש ל-MHD. וכמו כל אחד יודע, מדע מזיק זה מאפשר למסוקים להימשך במהירות שמעל הקול בלי להפיץ "בנג".

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

במדפי שלי יש גרסה יפה של "ההיפוך של הקוביה", שזו לא הגרסה הפוליאדרלית של הגרסה של מורין. כל זה מהתוכנית שלי. באחד הימים...

22 באוקטובר 2003: לא מאמצים את העמודים האלה יותר מדי, אם אני מאמין במדוד. ביום שני, 13 באוקטובר 2003, הרצתי הרצאה ב-CMI (מרכז למתמטיקה ומחשבים ב-Château-Gombert-Marseille) בזימון של טרוטמן. בזמנם, הצלחתי להוציא אוסף של כ-30 מודלים מקרטון, שיום אחד תוכלו ליהנות מההופעה הראשונה שלהם, שכן הם נלקחו בצילום על ידי כריסטוף טרדי.

כשנותנים הרצאה, מתרגלת אווירה מסוימת. בתמונה למטה, הנה גאומטריה שמביע את ספקותו.

ברקע, חלק מהמודלים המוצגים עם עזרת שותף ארוך טווח שלי, בוריס קולב, חבר במשרדי, גם הוא גאומטריה. ברגע מסוים שאלתי:

• כמה מכם כבר ראו משטח סטינר הרומני? הרים את היד.

ללא אחד מהם ראה אותו. לכן נראה לי שמתאים להציג את העצם הזה, עם תוכנית וירטואלית, על המחשב הנייד שלויתי, תוכנית שנוצרה בסיוע של כריסטוף טרדי, מהנדס, ופרדריק דסקמפ, מהמכון לאו-לנג'בין בגרנובל (ILL). ברור שההצגה הזו מבלבלת את הקהל, שמעט מתרגל לראות משטחים מתמטיים מתפצלים לפי רצונם.

שתי טבלאות קרטון, שברורות בפינה הקדמית, אפשרו להציג את כל סדרת המודלים לפי הסדר הלוגי. המודלים הירוקים והצהובים מדגימים, בצורה פוליאדרלית, את כלי היצירה וההפרדה של זוג נקודות קדומות. הרכיב הלבן הרחוק יותר הוא גרסה פוליאדרלית של משטח קס-קף, שמתפצל תחילה לגרסה פוליאדרלית של משטח סטינר הרומני, לאחר מכן, מטר אחד רחוק יותר, לפי בחירה, למשטח בוי "ימני" או "שמאלי".

הניתוח של המודלים מוביל להבחנות שונות בקרב הקהל. אחד הגאומטרים שאל:

• אם נכון שבעקבות המודלים בסדר זה אפשר לעבור מ- Cross Cap ל-Boy, נראה שבעקבות התהליך ההפוך אפשר להפוך משטח בוי ל- Cross Cap.

השבתי ב긍וד. מוכן יותר, שותפי הוסיף:

• אז אם נעצור בשלב של משטח סטינר הרומני, אמור להיות אפשרי לחזור למשטח בוי, אך מושלם ביחס למשטח הראשוני.

הסכמתי שוב. אך unfortunately, никто לא יבוא להסביר על העולם המוזר הזה שבו מותר למשטחים סגורים להימשך עם נקודות קדומות שנוצרות או מתפצלות בזוגות, שקבוצתן מהווה סוג של הרחבה של עולם ההימשכות. המונח "summersion" נראה לי מתאים. אם קורא יכול להסביר, הוא מוזמן.

עקמומיות מרכוזת בנקודה קדומית.

נחשב אותה על ידי סיכום הזוויות בקודקוד והשוואה לתוצאה שמקבלים במקרה של המישור האוקלידי: 2π.

בפינה השמאלית העליונה אפשר לראות אחת מהרבות הגרסאות הפוליאדרליות של נקודה קדומית. "לפרק" את המשטח מוביל לסכום זוויות שמעל הערך 2π ב-2α. מכאן נובע שהעקמומיות הזוויתית המרכוזת סביב הנקודה C היא -2α. אם הזווית α שווה ל-π/2, אז העקמומיות השלילית היא -π (האיור בפינה הימנית התחתונה). למעשה, עקמומיות של נקודה קדומית יכולה לקבל ערכים אינסופיים. בפינה הימנית התחתונה מדגימים את הסכום הזוויתי ועקב כך העקמומיות הופכת להיות < -π (העלינו את העקמומיות השלילית).

בעזרת פעולה הפוכה, ניתן להגיע למצב די מפתיע: אפשר לגרום לכך שהעקמומיות (הזוויתית) המרכוזת ב-C תהיה ... אפס:

נתחיל מגרסה פוליאדרלית של משטח קס-קף שמכילה שתי נקודות קדומות, כל אחת בעקמומיות שווה ל- -π:

באיור זה יש שמונה "פוזיצונים" בעלי ערך +π/2. נוסיף ארבעה "פוזיצונים" נוספים בעקמומיות +π/4 וארבעה "ניגאקוני" בעקמומיות -π/4.

בנוסף שתי נקודות קדומות בעקמומיות -π.

סה"כ: 2π

חלוקה של ערך "העקמומיות הכוללת" ב-2π מחזירה את ערך התכונה של אוילר-פואנקרה של כל ייצוג של המישור הפרויקטיבי (או של משטח בוי).

במהלך ההרצאה התייחסתי לאמנות ולבניית תמורה של שתי נקודות קדומות של משטח קס-קף באמצעות הפיכת כדור. לא זוכר אם הוספתי את זה באיזה מקום באתר שלי. זה תקוע כל כך. אצטרך לחפש, אחרת אוסיף. זה מצחיק. אך חשוב לציין שהפעולה הזו לא נראתה טוב כלל לאחת מהאנשים שהשתתפו בהרצאה:

• לא רואה למה פיט משתמש בציוד כה גדול כדי להוכיח את הסימטריה שמחברת את שתי הנקודות הקדומות של קס-קף. אפשר לעשות הרבה יותר פשוט.

והוא צייר על הלוח את צורת כדור דחוס בין שני סרגלים שמאוחזים זה בזה, שנותן בפועל קבוצה של חיתוך עצמי בצורה של קטע שבקצותיו נמצאות שתי נקודות קדומות, כמו במשטח קס-קף. לרוע המזל, והאיש ששאל הבחין בכך, זהו לא ממש משטח קס-קף.

• מה זה אם כן? שאל אחד.

זה פשוט הימשכות של כדור עם שתי נקודות קדומות. אם מכניסים אותן לנקודה אחת, מקבלים קו חיתוך עצמי שמתפצל למעגל. ומקבלים (בפינה הימנית התחתונה) הימשכות של כדור שנותר רק להפוך ל-embedding הסטנדרטי שלו. גם ניתן להציג את המשטח בצורה פוליאדרלית:

מדובר במשטח דו-צדדי שעקמומיות כוללת שלו היא 2π.

בכל מקרה, אפשר להנות רבות מה"הימשכות" האלה. נבחן הימשכות של טורוס שנוצר על ידי סיבוב הסמל של "אינסוף" סביב ציר:

הטכניקה של הורדת נקודות קדומות לנקודה אחת מאפשרת להגיע במהרה ל-embedding הסטנדרטי של הטורוס, כפי שהוסבר למעלה בציורים בסדרה.

אבל לא תמיד הדברים פשוטים וברורים. נניח כדור דחוס בין שני קטעים שבעצם קצרים יותר מהקוטר. עדיין מקבלים שתי נקודות קדומות.

מכיוון שהמשטח מכיל סרט מביוס, הוא חד-צדדי. הצבנו לצידו גרסה פוליאדרלית שמאפשרת לחשב את העקמומיות הכוללת שלו. נמצא אפס. אם לא טועה, אמור להיות זה בקבוק קליין. בדרך כלל מכירים רק את ההימשכות הקלאסית, שבה קו החיתוך העצמי הוא מעגל פשוט. אך יש גם אחרות, כמו זו כאן. אודה שעוד לא מצאתי את הדרך להפוך אותה לבקבוק קליין רגיל. מצד שני, לא יודע גם אם "ההימשכות" הזו וההימשכות הקלאסית נמצאות באותה קבוצת הומוטופיה (למשל, עבור הכדור, יש רק אחת). אפריורי, לא בהכרח: הטורוס, לדוגמה, יכול להימשך בארבע דרכים שונות במרחב תלת-ממדי, שלא ניתן להפוך אחת לשנייה באמצעות הומוטופיה רגילה. עד שנדע אם אפשר או לא במקרה הזה, הצלחתי להפוך אותה על ידי ייצור שתי נקודות קדומות נוספות, מה שנותן שתי Cross Cap מחוברות במעין צינור. כשנפרק אותן, נמצא שהתכונה של אוילר-פואנקרה היא אפס.

המשטח המוזר הזה אמור להפוך לאחת מארבע ההימשכות האפשריות של בקבוק קליין, אך איזו? בכל מקרה, הנה אחת שנוצרה על ידי סיבוב של 8 סביב ציר, בזמן שהוא עושה חצי סיבוב על עצמו:

דף קודם

חזור לתוכן "ההיפוך של Cross Cap ל-Boy"

חזור לפרק "חדשות" חזור לפרק "מדריך" חזור לדף הראשי

מספר מבקרים מ-25 נובמבר 2004:

תמונות