כדור טופולוגיה מודל מתמטיים
איטלקי: אנדרא סמבוסטי, האוניברסיטה של רומא
לחצו כאן כדי להציג את הציור של המודל בקנה מידה 1:1, להדפיס ולחתוך.
בהדפסת ארבע עותקים על נייר קרטון בצבעים שונים, תוכלו לבנות את המודל בעצמכם, לפי ההוראות להרכבתו.
בהכרח ראיתם אובייקט מוזר שמסתובב ללא הפסקה בצד השמאלי של העמוד הראשי של האתר הזה. מה זה?
יום אחד, כשאמצא את הזמן, אתקין באתר תיאור של הפיכת הכדור, כפי שציירתי בפעם הראשונה ב- Pour la Science, ינואר 1979, כלומר... לפני 22 שנה! כל זה ידרוש הרבה פרטים ומבוא. מה זה אומר "לפוך כדור"? למשתמש הפשוט, כדור הוא פשוט אוסף הנקודות במרחב הנמצאות במרחק R מנקודה מוגדרת מראש O. גאומטרית, ימשיכו לקרוא "כדור" גם למשהו שמתאים ל"כדור מופרע", כמו תפוח אדמה לדוגמה. כדי להבין את המושגים הללו בצורה מדויקת יותר, קבלו את הדיסק של Lanturlu שמכיל את הקומיקס "Topologicon". אך המתמטיקאי הולך אפילו יותר רחוק. משטח נקרא "רגולרי" כאשר בכול נקודה עליו אפשר להגדיר מישור משיק. זה מאפשר לחשוב על אינסוף פירוטים רגולריים אפשריים של הכדור, בפונקציות אינסופיות של צורת תפוח אדמה, תוך שינוי מקרי של השטח של המשטח. עם זאת, ביקום הפיזיקלי, אדם שיספר ליפול את הכדור (להביא את פני השטח הפנימי החוצה) יתמודד עם אי-האפשרות להפוך את פני השטח שלו. כשנניח את ההנחה הזו, כלומר נאסור שפני השטח יתנגשו או אפילו רק ייגעו, המתמטיקאי מדבר על "הטמעה" של הכדור S2. אך מתמטיקאי תמיד יכול לעשות כל דבר. כדור הוא, בשבילו, אובייקט "ריאלי" ולא חומרי, שבו הפעולה של חציה של שטח נחשבת אפשרית. הסדרה של הציורים להלן מראה כדור שמתנגש בעצמו. ייצוג כזה, שמאפשר חציה עצמי, נקרא "הכפלה".
לכן, הכפלה נוצרת עם קבוצה של חיתוכים עצמיים (כאן מדובר בקשת מעגלית פשוטה). אך מישור המשיק חייב להשתנות באופן רציף. עם זאת, כשנראה את הציור למעלה, נוכל לראות שהפעולה מכניסת חלק מהשטח הפנימי (המסומן בירוק) החוצה. כדי לסיים את הפיכת הכדור, עלינו ללחוץ על ה"צינור" האקוויטורי הזה. כאן נראה שיש בעיה: הלחיצה הזו תשמיד את רציפות מישור המשיק, ולכן הטרנספורמציה תכיל שלב שאינו כפלה.
יום אחד, מתמטיקאי אמריקני בשם סטיבן סמאלי הוכיח ש"הכדור S2 מוגדר על ידי מחלקה אחת של כפלות". המשפט המוזר הזה הוביל למסקנה שיתכן לעבור, באמצעות טרנספורמציה שמכילה רק כפלות אמיתיות, מהכדור "הסטנדרטי" לציור "האנטיפודלי" שלו, כלומר שבו כל נקודה מוחלפת עם הנקודה ההפוכה לה: במילים פשוטות... כדור הפוך. ראול Bott היה המנהל של סמאלי. למרות שההוכחה הפורמלית של הטענה נראתה נכונה, לא נראה ש никто יכל לתרגם את הפעולה הזו לפועל. Bott המשיך לשאול את סמאלי "הראה לי איך אתה חושב לנהל את זה"; וסמאלי, שידוע שהוא לא מתרגל להישאר בצד, ענה "לא יש לי מושג". סמאלי קיבל מאוחר יותר את מדליית פילד, המקבילה לנובל במתמטיקה. לעניין, אולי תצטרכו לשאול למה אין פרס נובל למתמטיקה. התשובה פשוטה: אשתו ברח עם מתמטיקאי.
המצב נותר כך למשך שנים רבות, עד שמתמטיקאי אמריקני בשם אנטוני פיליפס פרסם ב-1967, ב-Scientific American, גרסה ראשונה של הפיכת הכדור, מאוד מורכבת. הגרסה השנייה נוצרה בתחילת שנות השבעים על ידי המתמטיקאי הצרפתי (שלא ראה) ברנאר מורין. אני היה הראשון שצייר את סדרת הטרנספורמציות, שתהיה נושא, כפי שסיפרתי לכם, למאמר הבא באתר, שמכיל גם הרבה יותר. בכל מקרה, כל זה מוביל לשקף מסוים. משטחים יכולים להופיע בצורה פולידרלית. קוביה או טטראדר יכולים להיחשב ייצוגים פולידרליים של הכדור, בכך שהאובייקטים האלה הם בעלי טופולוגיה זהה. בנושא זה, פנו אל "טופולוגיקון" שלי. כמו כן, ניתן להבין שאם אפשר לפלוט את הכדור, אפשר גם לפלוט את הקוביה. הטרנספורמציה שהומצאה על ידי ברנאר מורין (שציירתי במאמר ינואר 1979 ב- Pour la Science) עוברת דרך מודל מרכזי. יש כאן סימטריה בסדרה. זו מה שקראתי לה "מודל מרכזי עם ארבע אוזניים". אני מתריע על דברים. בכל מקרה, כשם שהכדור מתאים לייצוג פולידרלי, כך גם שלבים הבאים של הטרנספורמציה. מה שראו מסתובב בעמוד הראשי שלי הוא הגרסה הפולידרלית של המודל המרכזי של הפיכת הכדור, שהמצאתי לפני כעשור. העניין של מודלים פולידרליים הוא שהם יכולים להיעשות עם שטחים מישוריים. ניתן גם לבנות אותם מנייר ומכסס. תראו את הציור למטה (אודה במקלט לصديقي כריסטוף טרדי, שיצר את האלמנטים במדידה הנכונה).
זהו מפה של הרכבה שכאן מוצגת במבט כללי. אך כדי להדפיס, מומלץ לעבור לעמוד ה"הדפסה". הדפיסו. לאחר מכן, עם העותק הזה על נייר רגיל מהמדפסת שלכם, הדפיסו ארבע עותקים זהים, שניים על נייר קרטון ירוק, ושניים צהובים. תוכלו לבנות את המודל המרכזי של הפיכת הקוביה באמצעות הדפים האלה שאותם תחתכו.
על האלמנטים שאותם תחתכו יש זוגות של אותיות: a, b, c, d, e, f וכו'. מספיק לפלג את הדף כך שהאותות זהות יתנגשו, ואז לקבוע את הפנים בעזרת סרט דביק שקוף. הציורים הבאים מראים איך להרכיב אחד מארבעת האלמנטים. הנה כיצד עליכם להתחיל לפלג אחד מהארבעה אלמנטים:
הנה שני מינימליים, נראים מזוויות שונות.
אזי מונחים כך שיצרו אובייקט עם סימטריה מסדר ארבע, שבו מחליפים אלמנטים ירוקים וצהובים. כדי לראות את זה ב-3D, תציצו בהצגה של טרדי, בחלק "מציאות וירטואלית". המודל המרכזי מונח ומשומש גם ב"vrml" בחלק הזה. הנה הוא מוצג מנקודות מבט שונות:
לא ניתן לומר שנקודה אחת מתאימה ל"למעלה" והשנייה ל"למטה", מכיוון שהשמות האלה הם לגמרי שרירותיים. בתמונה שמשמאל, הנקודה "מרכזית" מתאימה ל"נקודה כפולה" (בה שני שטחים מתנגשים) של המודל המרכזי של מורין, בעוד שהנקודה המרכזית בתמונה מימין מתאימה ל"נקודה רביעית" של אותו מודל (בה ארבעה שטחים מתנגשים). הדרתי להנחות את האובייקט בזהירות רבה, כדי שהתמונה שמשמאל לא תגרום לציור של סמל נאצי. מעבר לכך, מבחינת ארכיטקטורה, הייצוג הפולידרלי של המודל המרכזי של מורין יכול היה להפוך לפרויקט נחמד של בית התרבות הסוציאליסטית הלאומית.
הערה אחרונה: אין ייצוג פולידרלי טוב של הפיכת הכדור (או של הקוביה). "טוב" פירושו סדרת מודלים מספיק מפורטים שיכולים להישמר בצורה של דפים שאותם ניתן לחתוך בקלות, כמו המודל למעלה. יש לעשות מחקר בכיוון הזה, שיכלול כל אחד, גם לא-מתמטיקאי, לדוגמה צייר. לפני יותר מ-20 שנה הייתי מורה לציור באקדמיה לאמנויות יפות באקס-אן-פרובנס, בתקופת שלטונו של ידידי היקר ז'אק בוליה. באתרים האלה נולד הייצוג המזרחי הראשון של פני השטח של בוי באמצעות אליפסות, שמאפשר את בניית המשוואה הסתומה הראשונה של אפריה. אני חייב לומר שבעבר כבר הופתעתי מהדמיון הגאומטרי של תלמידי האומנות, שרובם עמדו על פני הגאומטרים.
מונה מותאם בתאריך 31 בדצמבר 2001. מספר חיבורים :
תמונות
