כדור טופולוגיה מודלים מתמטיים
איטלקי: אנדריאה סמבוסטטי, האוניברסיטה של רומא
לחצו כאן כדי להציג את הסרטוט של המודל בקנה מידה 1:1, להדפיס ולחתוך.
בהדפסת ארבע עותקים על נייר קרטון בצבעים שונים, תוכלו לבנות את המודל בעצמכם, לפי ההוראות להרכבתו.
האם ראיתם את התרחיש המוזר שמסתובב ללא הפסקה בצד השמאלי של העמוד הראשי של האתר הזה? מה זה?
יום אחד, כשאמצא את הזמן, אתקין באתר תיאור של הפיכת הכדור, כפי שציירתי במאמר של "Pour la Science" לינואר 1979, כלומר... לפני 22 שנה! כל זה ידרוש הרבה פרטים ומבוא. מה זה אומר "לפוך כדור"? לכדור יש משמעות שונה עבור אדם רגיל ועבור מתמטיקאי-גאומטריסט. עבור אדם רגיל, זהו פשוט קבוצת הנקודות במרחב הנמצאות במרחק R מנקודה קבועה O. גאומטריסט ימשיך לקרוא "כדור" גם לאובייקט שמתאים ל"כדור מופעל", כמו תפוח אדמה לדוגמה. כדי להבין את המושגים האלה בצורה מדויקת יותר, קנו את הדיסק של Lanturlu שמכיל את הקומיקס "Topologicon". אך המתמטיקאי הולך גם קצת יותר רחוק. משטח נקרא "רגולרי" כאשר בכול נקודה שלו ניתן להגדיר מישור משיק. זה כבר מאפשר לחשוב על אינסוף פיתוחים רגולריים אפשריים של הכדור, בכול הצורות האינסופיות של תפוח אדמה, תוך שינוי מקרי של שטח המשטח. עם זאת, ביקום הפיזיקלי, אדם שיסע לפלוט את הכדור (לגרום למשטח הפנימי להופיע מבחוץ) יתקל באי-יכולת לשקוע את המשטח עצמו. כשנניח את ההנחה הזו, כלומר נאסור שהמשטח יתנגש בעצמו או אפילו רק ייגע, המתמטיקאי מדבר על "הכלה" של הכדור S2. אך מתמטיקאי תמיד יכול לעשות כל דבר. כדור הוא, עבורו, אובייקט "וירטואלי" ולא חומרי, שבו שילוב של שטחים נחשב אפשרי. הסדרה של הסרטוטים למטה מציגה כדור שמתנגש בעצמו. נציג כזה, שמאפשר שילובים עצמיים, נקרא "הכלה".
לכן, הכלה נוצרת עם קבוצה של חיתוכים עצמיים (כאן מדובר בקשת מעגלית פשוטה). אך מישור המשיק חייב להשתנות באופן רציף. בהנחה זו, כשנראה את הסרטוט למעלה, ניתן לראות היטב שהפעולה מובילה חלק מהמשטח הפנימי (שנאורח בירוק) החוצה. כדי להשלים את הפיכת הכדור, עלינו ללחוץ על ה"צינור" האקואטורי הזה. כאן נראה שיש בעיה: הלחיצה הזו תשמיד את רציפות מישור המשיק, ולכן הטרנספורמציה תכיל שלב שאינו הכלה.
יום אחד, מתמטיקאי אמריקאי בשם סטיבן סמאלי הוכיח ש"הכדור S2 מזוהה עם מחלקה אחת של הכלה". המשפט המוזר הזה הוביל למסקנה שיתכן לעבור, באמצעות טרנספורמציה שמכילה רק הכלה ממשיות, מהכדור "הסטנדרטי" להצגה "אנטיפודלית" שלו, כלומר שבו כל נקודה מוחלפת עם הנקודות האנטיפודיות שלה: בקצרה... כדור הפוך. ראול בוט היה המנהל של סמאלי. למרות שההוכחה הרשמית של הנקודה הזו נראתה נכונה, לא נראה ש никто יכל להציג את הפעולה הפיזית של הפיכת הכדור. בוט המשיך לשאול את סמאלי "הראה לי איך אתה חושב להתקדם"; וסמאלי, שידוע שהוא לא מתרגל למסירות, ענה "לא יש לי slightest מושג". סמאלי קיבל מאוחר יותר את מדליית פילד, השקולה לנאבל במתמטיקה. לעניין, אולי תשאלו מדוע אין מדליית נובל למתמטיקה. התשובה פשוטה: אשתו ברח עם מתמטיקאי.
המצב נשאר כך למשך שנים רבות, עד שמתמטיקאי אמריקאי בשם אנטוני פיליפס פרסם ב-1967, ב-Scientific American, גרסה ראשונה של הפיכת הכדור, מאוד מורכבת. הגרסה השנייה נוצרה בתחילת שנות השבעים על ידי המתמטיקאי הצרפתי (לא ראה) ברנאר מורין. אני היה הראשון שצייר את סדרת הטרנספורמציות, שתהיה נושא, כפי שהודעתי, למאמר הבא באתר, ובעיקר מפורט. בכל מקרה, כל זה מוביל למחשבה. משטחים יכולים להופיע בצורה פולידרלית. קוביה או טטראדר יכולים להיחשב נציגים פולידריים של הכדור, בכך שהאובייקטים האלה יש להם את אותה טופולוגיה. בנושא זה, פנו אל "טופולוגיקון" שלי. כמו כן, ניתן להבין שאם אפשר לפלוט את הכדור, גם ניתן לפלוט קוביה. הטרנספורמציה שנוצרה על ידי ברנאר מורין (שציירתי במאמר לינואר 1979 של "Pour la Science") עובדת דרך מודל מרכזי. יש סימטריה בסדרה הזו. זו שהיא נקראת "מודל מרכזי עם ארבע אוזניים". אני מתריע על דברים. בכל מקרה, כמו שהכדור מתאים להצגה פולידרית, כך גם שלבים הבאים של הטרנספורמציה. מה שראיתם מסתובב בעמוד הראשי שלי הוא הגרסה הפולידרית של המודל המרכזי של הפיכת הכדור, שיצרתי לפני עשר שנים. העניין של מודלים פולידריים הוא שהם יכולים להיעשות עם משטחים מישוריים. ניתן גם לבנות אותם מנייר ומכונת חיתוך. תראו את הסרטוט למטה (אודה בפרטי לחבר שלי כריסטוף טרדי, שיצר את האלמנטים במדידה הנכונה).
זהו מخطط הרכבה שכאן מוצג במבט כללי. אך כדי להדפיס, מומלץ לעבור לעמוד ה"הדפסה". הדפיסו. לאחר מכן, עם העותק הזה על נייר רגיל מהמדפסת שלכם, הדפיסו ארבע עותקים זהים, שניים על נייר קרטון ירוק, ושניים צהובים. תוכלו, באמצעות דפים אלה לחתוך, לבנות את המודל המרכזי של הפיכת הקוביה.
על האלמנטים לחתוך יש זוגות של אותיות: a, b, c, d, e, f וכו'. מספיק לתקוע את הדף כך שהאותות זהות יתלכדו, ואז לקבוע את הצדדים עם סרט ניילון שמסתיר. הסרטוטים הבאים מראים את הדרך להרכבת אחד מארבעת האלמנטים. הנה כיצד עליכם להתחיל לתקוע אחד מארבעת האלמנטים:
הנה שני מרכיבים מארבעה, נראים מזוויות שונות.
אזי מותאמים אותם כך שיתקבלו אובייקט עם סימטריה מסדר ארבע, שבו מרכיבים ירוקים וצהובים מתחלפים. כדי לראות את זה ב-3D, תראו את היצירה של טרדי, בחלק "מציאות וירטואלית". המודל המרכזי מותאם גם מיוצר ב"vrml" בחלק זה. הנה הוא מוצג מנקודות מבט שונות:
לא ניתן לומר שנקודה אחת מתאימה ל"למעלה" והשנייה ל"למטה", מכיוון שהשמות האלה הם לגמרי מקריים. בתמונה משמאל, הנקודה "מרכזית" מתאימה ל"נקודה כפולה" (בה שני שטחים נחתכים) של המודל המרכזי של מורין, בעוד שהנקודה המרכזית בתמונה מימין מתאימה ל"נקודה רביעית" של אותו מודל (בה ארבעה שטחים נחתכים). הדרתי להכוון את האובייקט בזהירות רבה, כדי שהתמונה משמאל לא תזכיר שברט. מלבד זאת, מבחינת ארכיטקטורה, הצגת הפולידר של המודל המרכזי של מורין הייתה יכולה להפוך לפרויקט נחמד של בית התרבות הסוציאליסטית הלאומית.
הערה אחרונה: אין הצגה פולידרית טובה של הפיכת הכדור (או של הקוביה). "טובה" פירושה סדרת מודלים מספיק מפורטים שיכולים להימשך בצורה של דפים לחתוך בצורה יחסית פשוטה, כמו המודל למעלה. יש לעשות מחקר בנושא זה, שיכלול כל אחד, גם לא-מתמטיקאי, לדוגמה סculptor. לפני יותר מ-20 שנה הייתי מורה לפסיפס באקול דה בוא-ארט באקס-אן-פרובנס, בתקופת מנהל האוניברסיטה החביב שלי ג'ק בוליה.正是 במקומות האלה נולדה ההצגה הראשונה של המשטח של בוי באמצעות אליפסות, המפתח לבניית המשוואה ה ضمنית הראשונה שנותנה אפריה. אני חייב לומר שבעבר הדהמתי מהדמיון הגאומטרי של הסטודנטים לאמנות, שפעלה לעיתים קרובות על פני הדמיון של... גאומטרים.
מונה מותקן בתאריך 31 בדצמבר 2001. מספר חיבורים:
תמונות
