מודל מרכזי (פוליאדרלי) של הפיכת הקוביה
המודל המרכזי של הפיכת הקוביה
31 בדצמבר 2001
כל אחד מכם ראה, ללא הפסקה, אובייקט מוזר שמסתובב בצד השמאלי של דף הבית של האתר. מה זה?
יום אחד, כשיש לי זמן, אתקין באתר תיאור של הפיכת הכדור, כפי שציירתי אותו במאמר ינואר 1979 של "למדע", כלומר לפני... 22 שנים. זה, כמובן, ידרוש תיאור מפורט ומבוא. מה זה אומר להפוך כדור? למשתמש רגיל, כדור הוא המקום של כל הנקודות במרחב תלת-ממדי הנמצאות במרחק R מנקודה קבועה O. גאומטריה ממשיכה לקרוא "כדור" לאובייקט שמתאים ל"כדור מופעל", סוג של "תפוח אדמה". כדי להבין את כל המושגים הללו בצורה מדויקת יותר, קבלו את הדיסק Lanturlu שמכיל את הסרט הקומיקס "הטופולוגיקון". אך המתמטיקאי הולך אפילו יותר רחוק. כשמשטח נקרא "רגולרי", אפשר להגדיר בנקודה כלשהי על המשטח מישור משיק. זה מאפשר לשקול אינסוף הופכות של "הכדור המקורי" לאינסוף תפוחי אדמה, כאשר שטח המשטח יכול להיות כלשהו. עם זאת, בעולם הפיזיקלי, האדם שמופעל את הכדור יתקל בקושי להפוך אותו לשקוף עצמו. אם חיתוכים או אפילו מגע מותרים, נקרא לזה "הכפלה של הכדור S2". אך מתמטיקאי מקבל את כל הזכויות. כדור הוא, עבורו, אובייקט "וירטואלי" שבו חיתוכים של משטחים הופכים אפשריים. הסדרה של ציורים שמופיעה להלן מראה כדור ש"חוצה את עצמו". אנו מכנים את ההצגה הזו של הכדור "הכפלה".
הכפלה כוללת קבוצה של חיתוכים עצמיים או חיתוכים עצמיים (כאן קו מעגלי פשוט). מישור המשיק חייב להשתנות באופן רציף. עם זאת, כשאתם מביטים בציורים למעלה, רואים שהפעולה מפילה חלק מסוים (המוצג בצבע ירוק) של פנים הכדור החוצה. כדי להשלים את הפיכת הכדור, עלינו ללחוץ על סוג של "צינור אקואטורי". הדבר נראה אינטואיטיבית בעייתי. הלחיצה הזו תפר את רציפות מישור המשיק. הפעולה תכיל שלב ש"לא יהיה כפלה".
יום אחד, מתמטיקאי אמריקאי בשם סטיבן סמאיל הוכיח שהכדור S2 מופיע רק בכיתה אחת של הכפלה. המסקנה מהמשפט המוזר הזה הייתה שאפשר להרכיב סדרה של הכפלות של הכדור שמאפשרת לעבור מה"כדור סטנדרטי" להצגה "אנטיפודלית", כלומר כל נקודה מוחלפת על ידי הנקודה הנגדית לה. בקצרה... כדור הפוך, פנים-לחוץ. ראול Bott היה המנהל של סמאיל. בעוד שההוכחה שלו, שגויה לגמרי, נראתה חסרת תקלה, אף אחד לא ראה איך לבצע את הפעולה. Bott אמר שוב ושוב לסמאיל "הראה לי איך אתה חושב לבצע את זה", והרי סמאיל, עם שיעור הידוע שלו, ענה "אין לי slightest רעיון". סמאיל קיבל מאוחר יותר את מדליית פילד, המקבילה לפרס נובל, אך למתמטיקה. בדרכו, אולי תצטרכו לשאול למה נובל לא רצה ליצור פרס נובל למתמטיקה. התשובה פשוטה: אשתו עזבה אותו עם מתמטיקאי.
המצב נשאר כפי שהוא במשך שנים רבות, עד שמתמטיקאי אמריקאי בשם אנטוני פיליפס פרסם ב-1967 ב"Scientific American" גרסה ראשונה של הפיכת הכדור, מוקדמת מאוד. הגרסה השנייה התגלתה בתחילת שנות השבעים על ידי המתמטיקאי הצרפתי (עיוור) ברנאר מורין. אני היה הראשון שצייר את סדרת ההופכות שאותה אני כבר אמרתי שהיא תהייה מושא למאמר הבא באתר, שהוא גם די עשיר. בכל מקרה, זה מוביל אותנו למסקנה משנית. משטחים יכולים להופיע בצורה פוליאדרלית. קוביה או טטראדר יכולים להיחשב כהצגות פוליאדרליות של הכדור, בהקשר שבו האובייקט הזה יש לו את אותה טופולוגיה. בנושא זה, בקרו את הקומיקס שלי "הטופולוגיקון". יתר על כן, ניתן להבין שמכיוון שיכולה להיפוך כדור, אפשר גם להפוך קוביה. ההופכה שהומצאה על ידי ברנאר מורין (שהצגתי במאמר ינואר 1979 של "למדע") עובדת דרך מודל מרכזי. יש סימטריה בסדרה הזו. זה נקרא "המודל המרכזי בארבע אוזניים". שוב, אני מטיל קדימה. אך בדיוק כמו שהכדור יכול להופיע בצורה פוליאדרלית, כך גם שלבים עוקבים של הופכות יכולים להופיע בצורה פוליאדרלית. האובייקט שמסתובב על דף הבית שלי הוא לכן גרסה פוליאדרלית של המודל המרכזי של הפיכת הכדור, מודל שהמצאת לפני בערך עשר שנים. היתרונות של מודלים פוליאדרליים הם שאפשר לבנות אותם עם משטחים מישוריים. אפשר אפילו לסדר אותם לפי חיתוכים. הסתכלו על הציור הבא (אני מודה לصديقي כריסטוף טרדי, שיצר את האלמנטים עם תווית נכונה).
**זה ציור שיצא מהמדפסת בפורמט קטן, שאינו שימושי. **
להדפיס את הצורה על דף A4 יש להדפיס ארבע עותקים על נייר עבה A4, שתי עמודות בצבע אחד, שתי עמודות בצבע אחר
זה חיתוך שראיתם את הראיה הכללית שלו. אך כדי להדפיס אותו, מומלץ לעבור לדף חיתוך. הדפיסו אותו. לאחר מכן, עם העותק המודפס על הנייר הרגיל של הדפסה שלכם, הילכו למכונת פוטוקופיה ועשו ארבע העתקות זהות של הציור, שתיים על ברייסטול ירוק ושתיים על צהוב. עכשיו תוכלו לבנות את המודל המרכזי של הפיכת הקוביה בעזרת החיתוך הזה.
על האלמנטים החתוכים יש זוגות של אותיות: a, b, c, d, e, f וכו'. כל מה שצריך לעשות הוא לפלג כך שהאותות זהות יתלכסו, ואז לשלב את הפאות עם סרט ניילון שקוף. הציורים הבאים מראים איך לבנות אחד מהארבעה אלמנטים. הנה איך להתחיל את הפלג של אחד מהארבעה אלמנטים:
הנה שניים מהארבעה אלמנטים, נראים מזוויות שונות.
האלמנטים האלה מותאמים יחד כדי ליצור אובייקט עם סימטריה של סדר ארבע, או מחליפים בין אלמנטים ירוקים לבין אלמנטים צהובים. כדי לראות את זה ב-3D, הסתכלו על היצירות של טרדי, ב"ריאליטה וירטואלית". גם המודל המרכזי המושלם מופץ ב"vrml" בחלק הזה. הנה האובייקט, נראות מזוויות שונות:
לא ניתן לומר שהמבט אחד מתאים ל"למעלה" והשני ל"למטה", כי התיאורים הללו היו לגמרי אקראיים. במבט שמאלי, הנקודה "מרכזית" מתאימה ל"נקודה כפולה" (היכן ששני משטחים נחתכים) של המודל המרכזי של מורין, בעוד שהנקודה המרכזית בימין שווה ל"נקודה רביעית" של המודל הזה (היכן שארבעה משטחים נחתכים). הצלחתי לכוון את האובייקט בזהירות, כדי שהציור השמאלי לא יזכיר חיתוך גמ"י. אחרת, מנקודת מבט ארכיטקטונית, ההצגה הפוליאדרלית של המודל המרכזי של מורין הייתה יכולה להפוך לפרויקט טוב לבית התרבות של הקבוצה הלאומית הסוציאליסטית.
המבט האחרון:
הערה אחרונה: אין הצגה פוליאדרלית טובה של הפיכת הכדור (או הפיכת הקוביה). "טובה" פירושה סדרה של מודלים מספיק מובנות שיכולים להיבנות בצורה של חיתוכים בצורה יחסית קלה, כמו המודל למעלה. יש לבצע חיפוש בנושא זה, שהוא זמין לכל אחד, גם לא מתמטיקאי, גם לאמן, לדוגמה. לפני יותר מ-20 שנים הייתי מורה לפסיפס באקדמיה לאמנות של אקס-אן-פרובן, בתקופת שלטונו של חבר טוב שלי, ג'אק בוליאר. במקומות האלה נולדה ההצגה המזרחית הראשונה של משטח בוי באמצעות אליפסות, המפתח לבניית המשוואה האימפליציטית הראשונה על ידי אפריי. אני חייב לומר שבעבר תמיד הופתעתי מהדמיון הגאומטרי של הסטודנטים לאמנות, שרוב הזמן הפסיד את הדמיון של... הגאומטרים.
מונה הופעל לראשונה ב-31 בדצמבר 2001. מספר חיבורים :
ריאליטה וירטואלית חזרה לחדשויות
תמונות
