מודל מרכזי (פוליאדרלי) של הפיכת הקוביה
המודל המרכזי של הפיכת הקוביה
31 בדצמבר 2001
אתם כולם רואים את האובייקט המוזר שמסתובב ללא הפסקה בצד השמאלי של עמודת הכניסה לאתר. מה זה?
יום אחד, כשאכלה לי זמן, אתקין באתר תיאור של הפיכת הספירה, כפי שציירתי אותו במאמר ינואר 1979 של "למדע", כלומר לפני... 22 שנים. זה כמובן ידרוש תיאור מפורט ומבוא. מה זה אומר "לפוך ספירה"? ספירה אינה מובנת בצורה זהה על ידי אדם ממוצע ובעיני מתמטיקאי-גאומטריה. לאדם הממוצע, היא מוגדרת כמקום כל הנקודות במרחב תלת-ממדי הנמצאות במרחק R מנקודה קבועה O. גאומטריה ממשיכה לקרוא "ספירה" למשהו שיתאים לספירה מוטה, סוג של "תפוח אדמה". כדי להבין את כל המושגים האלה בצורה מדויקת יותר, כדאי להשיג את ה-CD Lanturlu שמכיל את הסרט הקומיקס "הטופולוגיקון". אך המתמטיקאי הולך אפילו מעבר לכך. כאשר משטח נקרא "רגולרי", ניתן להגדיר בכול נקודה עליו מישור משיק. זה מאפשר כבר לחשוב על אינסוף טיפוסי התארכות של "הספירה הראשונית" לאי-אינסוף תפוחי אדמה, כאשר שטח המשטח יכול להיות כלשהו. עם זאת, בעולם הפיזיקלי, האדם שמכניס את הספירה יתנגש באי-האפשרות להכניס את הספירה דרך עצמה. אם חיתוכים או אפילו מגע מותרים, נקרא לזה "הטלה של הספירה S2". אך מתמטיקאי מתחזק את כל הזכויות. ספירה, למתמטיקאי, היא אובייקט "וירטואלי" שבו חיתוכים של משטחים הופכים אפשריים. הסדרה של ציורים שמופיעה להלן מציגה ספירה ש"חצתה את עצמה". אנו קוראים לזה ייצוג של הספירה "הטלה".
ההטלה מכילה קבוצה של חיתוכים עצמיים (כאן עקומה מעגלית פשוטה). המישור המשיק חייב להשתנות באופן רציף. עם זאת, כשאתם מסתכלים על הציורים לעיל, רואים שהפעולה מפילה חלק מסוים (המוצג בצבע ירוק) של הפנים של הספירה החוצה. כדי לסיים את הפיכת הספירה הזו, עלינו ללחוץ על סוג של "צינור אקוויטורי". הדבר נראה אינטואיטיבית בעייתי. ללחיצה זו תיווצר אי-רציפות במישור המשיק. לכן הפעולה תכלול שלב ש"אינו הטלה".
יום אחד, מתמטיקאי אמריקאי בשם סטיבן סמאול הוכיח כי "הספירה S2 מכילה רק מחלקה אחת של הטלה". המסקנה מהמשפט המוזר הזה הייתה שחייבים להפיק סדרת הטלות של הספירה שמאפשרת לעבור מה"ספירה סטנדרטית" לייצוגה "אנטיפודלי", כלומר כל הנקודות מוחלפות על ידי האנטיפוד שלהן. בקצרה... ספירה הפוכה, פנים-פנימה. ראול Bott היה המנהל של סמאול. בעוד שההוכחה שלו, שגויה לגמרי, הייתה מושלמת, איש לא ראה איך לבצע את הפעולה. Bott היה מבקש שוב ושוב מ- Smale "הראה לי איך אתה חושב לבצע את זה", והייתי עונה, עם שיעור הידוע שלו, "אין לי מושג". סמאול קיבל מאוחר יותר את מדליית פילד, שמהווה אתפרס נובל במתמטיקה. בדרכו, תצטרכו לחשוב למה נובל לא רצה ליצור פרס נובל למתמטיקה. התשובה פשוטה: אשתו עזבה אותו עם מתמטיקאי.
המצב נותר כה עד שמתמטיקאי אמריקאי בשם אנטוני פיליפס פרסם ב-1967 ב-Scientific American גרסה ראשונה של הפיכת הספירה, מוזרה ומסובכת ביותר. הגרסה השנייה נוצרה בתחילת שנות השבעים על ידי המתמטיקאי הצרפתי (עיוור) ברנרד מורין. אני היה הראשון שצייר את סדרת ההטלות הזו, שכבר אמרתי שהיא תהייה נושא של מאמר עתידי באתר, שמכיל גם הרבה תוכן. בכל אופן, זה מוביל אותנו למסקנה משנית. משטחים יכולים להיחשב ייצוגים פוליאדרליים. קוביה או טטראדר יכולים להיחשב ייצוגים פוליאדרליים של הספירה, בהנחה שאותם עצמים הם בעלי אותה טופולוגיה. בנושא זה, כדאי להתייחס לסדרת הקומיקס שלי "הטופולוגיקון". יתר על כן, ניתן להבין שמכיוון שפיכת הספירה אפשרית, גם פיכת הקוביה אפשרית. ההטלה שנוצרה על ידי ברנרד מורין (שהצגתי במאמר ינואר 1979 של "למדע") עוברת דרך מודל מרכזי. יש סימטריה בסדרה הזו. זה נקרא "המודל המרכזי בארבע אוזניים". שוב, אני מתחזק. אך כמו שספירה יכולה להיחשב ייצוג פוליאדרלי, כך גם שלבים עוקבים של ההטלה יכולים להיחשב כך. האובייקט שמסתובב על עמודת הכניסה שלי הוא לכן גרסה פוליאדרלית של המודל המרכזי של הפיכת הספירה, מודל שיצרתי לפני כעשרה שנים. היתרונות של מודלים פוליאדרליים הם שאפשר לבנות אותם משטחים מישוריים. אפשר אפילו לסדר אותם לפי חיתוכים. תראו את הציור הבא (אני מודה לصديقي כריסטוף טרדי, שיצר את הרכיבים עם מימדים מדויקים).
זהו ציור שיצא מהמדפסת בפורמט קטן, לא ניתן לשימוש.
להדפסת התמונה על דף A4 יש להדפיס ארבע עותקים על נייר עבה A4, שתי עמודות בצבע אחד, שתי עמודות בצבע אחר.
זוהי תצוגה כללית של החיתוך. אך כדי להדפיס, מומלץ לעבור לעמוד חיתוך. הדפיסו את העמוד. לאחר מכן, עם העותק המודפס על הנייר הרגיל של המדפסת, הולכים למדפסת פוטוקופיה ומבצעים ארבע עותקים זהים של התמונה, שניים על נייר ירוק ושניים על נייר צהוב. עכשיו תוכלו לבנות את המודל המרכזי של הפיכת הקוביה בעזרת החיתוך הזה.
על הרכיבים החתוכים יש זוגות של אותיות: a, b, c, d, e, f וכו'. מספיק לבצע את הפליגות על ידי הובלת האותות זהות למקומן, ואז לשלב את הפאות עם סרט ניילון שקוף. הציורים הבאים מראים איך לצבור אחד מארבעת הרכיבים. הנה איך להתחיל את הפליגת אחד מארבעת הרכיבים:
הנה שני מרכיבים מתוך ארבעה, נראים מזוויות שונות.
הרכיבים מותאמים זה לזה ליצירת אובייקט עם סימטריה מסדר ארבע, או מחליפים בין מרכיבים ירוקים לבין מרכיבים צהובים. כדי לראות את זה ב-3D, כדאי להסתכל על היצירות של טרדי, ב"מציאות וירטואלית". המודל המרכזי המושלם מופיע גם ב-VRML בחלק זה. הנה האובייקט, נראות מזוויות שונות:
לא ניתן לומר שהמבט אחד מתאים ל"למעלה" והשני ל"למטה", שכן הדימויים הללו היו לגמרי שרירותיים. במבט שמאלי, הנקודה "מרכזית" מתאימה ל"נקודה כפולה" (היכן ששני משטחים חותכים זה את זה) של המודל המרכזי של מורין, בעוד שהנקודה המרכזית בימין מתאימה ל"נקודה רביעית" של המודל הזה (היכן שארבעה משטחים חותכים זה את זה). הצלחתי לכוון את האובייקט בזהירות, כדי שהמבט השמאלי לא יזכיר חיתוך גממי. אחרת, מנקודת מבט ארכיטקטונית, הייצוג הפוליאדרלי של המודל המרכזי של מורין היה יכול להפוך לפרויקט מצוין לבית התרבות של המפלגה הנאצית.
המבט האחרון:
הערה אחרונה: אין ייצוג פוליאדרלי טוב של הפיכת הספירה (או הפיכת הקוביה). "טוב" פירושו סדרת מודלים מספיק מובנים שיכולים להיעשות כחיתוך בצורה יחסית קלה, כמו המודל למעלה. יש לערוך חיפוש בנושא זה, שברשות כל אחד, גם לא מתמטיקאי, גם לא אמן, לדוגמה. לפני יותר מ-20 שנה הייתי מורה לפסיפס באקדמיה לאמנויות יפות באקס-אן-פרובנס, בתקופת שליטה עליה על ידי חבר טוב שלי, ג'אק בוליה. במרחבי המקום הזה נולדה הגרסה המזרחית הראשונה של משטח בוי באמצעות אליפסות, שמהווה מפתח לבניית המשוואה המפורשת הראשונה על ידי אפרוי. אני חייב לומר שהייתי תמיד מופתע מהדמיון הגאומטרי של הסטודנטים לאמנות, שבעתים רבות עקף את הדמיון של... הגאומטרים.
המונה הופעל ב-31 בדצמבר 2001. מספר חיבורים:
מציאות וירטואלית חזרה לחדשויות
תמונות
