5
Symétries.
(49b)
Qu'est-ce que cela signifie ?
Considérons un groupe composé de quatre éléments (un « groupe discret »).
(50)
que je peux écrire :
(51)
L'action correspondante est :
(52)
Il est clair qu'elle peut inverser la coordonnée x, la coordonnée y, ou les deux.
Schématiquement :
(53)
(54)
(55)
(56)
Nous pouvons maintenant construire la matrice :
(57)
Nous pouvons vérifier que cet ensemble de matrices forme un groupe.
Leur déterminant est :
(58)
det (
a
) = l m ( cos² a + sin² a ) = l m = ±1
Vérifions que la matrice inverse est :
(59)
(60)
(61)
Ainsi :
(62)
d'où :
(63)
SO(2) (appelé groupe orthogonal spécial) est un sous-groupe de O(2) (appelé groupe orthogonal), et nous pouvons former les matrices
a
à partir des matrices
a
par :
(64)
En passant, beaucoup sont redondantes. Par exemple, si
(64b)
(65)
ce qui signifie que changer ( x ---> -x ; y ---> -y ) est équivalent à une rotation de
p
. Voir la figure suivante.
(66)
Nous savons que les matrices :
(67)
correspondent à une simple rotation autour de l'origine des coordonnées O.
Quelle est la signification des matrices plus générales :
(68)
À partir de :
(69)
nous savons que
a
correspond à deux opérations combinées :
-
Une symétrie par rapport à l'axe OX, ou à l'axe OY, ou aux deux.
-
Une rotation a autour de l'origine des coordonnées.
(70)
Sur la figure est indiquée la succession des deux opérations
( M1 ----> M4 )
Il est clair qu'elle est équivalente à une symétrie par rapport à une droite passant par O
(71)
Nous avons enrichi le « groupe orthogonal spécial » SO(2) qui était issu du « groupe orthogonal » O(2). Nous découvrons alors que ce groupe étendu contient des symétries miroir : toutes les symétries par rapport à des droites passant par l'origine des coordonnées O.
(72)
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
5
Symmetries.
(49b)
What does it mean ?
Consider a group composed by four elements ( a "discrete group" ).
(50)
that Ican write :
(51)
The corresponding action is :
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically :
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix :
(57)
We can check such set of matrixes form a group.
Their determinant is :
(58)
det (
a
) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Check the inverse matrix is :
(59)
(60)
(61)
So that :
(62)
whence :
(63)
SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrixes
a
from the matrixes
a
through :
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing ( x ---> - ; y ---> -y ) is equivalent to a rotation of
p
. See next figure.
(66)
We know that matrixes :
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrixes :
(68)
From :
(69)
we know that
a
corresponds to two combined operations :
-
A symmetry with respect
to axis OX , or OY , or both. -
A rotation a
around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
( M1 ----> M4 )
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
We have enriched the "special orthogonal group " SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discovers that this extended group contains mirror-symmetries : all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)
Index Dynamic Groups Theory