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Nous cherchons à classifier. La classification repose sur la définition d'une espèce.
Deux objets appartenant à la même espèce ont une propriété commune.
- Prenez une sphère, une sphère particulière.
- Regardez le sous-groupe du grand groupe (groupe d'Euclide) qui laisse cette sphère invariante. Souriau appelle ce sous-groupe la régularité d'une sphère.
- Cherchez tous les objets invariants par l'action de ce sous-groupe. Vous trouvez toutes les sphères centrées en un point donné, y compris la sphère de rayon zéro : le point.
Le point appartient donc à l'espèce des « sphères centrées à l'origine ».
Réciproquement :
- Prenez un point d'un espace à trois dimensions.
- Regardez le sous-groupe du groupe d'Euclide qui laisse ce point invariant. Vous trouvez le groupe orthogonal O(3).
- Cherchez alors tous les objets invariants par l'action des éléments de ce sous-groupe, sous rotation autour de ce point. Vous trouvez toutes les sphères centrées sur ce point, et concluez que ce point et toutes ces sphères appartiennent à une même espèce.
Des objets comme une droite, un plan, un cylindre, etc. peuvent être « construits » comme une espèce liée à un certain sous-groupe particulier.
...En physique, nous voulons classifier les particules élémentaires. Mais vous ne pouvez pas prendre une particule entre votre pouce et votre index et la regarder à la loupe. Vous ne pouvez observer que son comportement, son mouvement.
Dis-moi comment tu te déplaces, je te dirai ce que tu es.
...J'ai un vieil ami, Jean-Louis Philoche, qui est un excellent joueur d'échecs. Il peut jouer à l'aveugle (en français « jouer à l'aveugle », sans voir l'échiquier). Il vous suffit d'indiquer le mouvement d'une pièce :
b1-c3
Pour les non-joueurs :
(90) Mouvement du cavalier
...Jean-Louis est capable de mémoriser tout cela dans sa tête. Je ne sais pas comment il fait, mais cela fonctionne. Cela prouve que les pièces d'échecs ne sont pas nécessaires pour jouer (un ordinateur n'en a pas besoin).
...Imaginez que vous êtes dans une pièce et que vous entendez deux voisins qui jouent à « un jeu quelconque ». Vous ne les voyez pas, mais vous entendez quand ils annoncent leurs coups.
b2-b3 b7-b5 et ainsi de suite...
...Vous pensez : ils déplacent quelque chose. Quel est ce jeu ? Vous prenez un plateau, disposez de petites pierres dessus, et notez leurs coups successifs sur une feuille. Appelons C l'indice de colonne et L l'indice de ligne. Un coup correspond à :
( DC , DL )
Si |DC| ≤ 1 et |DL| ≤ 1 : cela correspond à un mouvement de roi.
Si |DC| = |DL| : cela correspond à un mouvement de fou (le long d'une diagonale).
Si |DC| × |DL| = 0 : cela correspond à un mouvement de tour.
Si |DC × DL| = 3 : cela correspond à un mouvement de cavalier.
Si DL est strictement positif : cela correspond à un pion blanc. Si DL est strictement négatif : cela correspond à un pion noir.
Et ainsi de suite. Nous construisons une classification d'« objets » basée sur leur comportement.
Une autre image. Vous avez une boîte avec des boulons mélangés. Vous voulez les classer. Qu'est-ce qu'il vous faut ? Des écrous différents.
(91)
- Prenez un boulon.
- Cherchez l'écrou qui lui correspond.
- Sélectionnez tous les boulons qui s'adaptent à cet écrou. Vous obtenez une espèce de boulons.
**Groupe orthogonal **O(3).
...Nous pouvons étendre ce qui a été dit ci-dessus dans le contexte 2D au contexte 3D. Nous savons comment effectuer une rotation dans un espace 3D, par rapport à un point fixe, origine des coordonnées. Elle dépend de trois angles a, b, g, appelés angles d'Euler. Nous n'écrirons pas une telle matrice, nous la noterons simplement :
(92)
det (a) = +1
Il s'agit d'une matrice orthogonale :
(92b)
...Le groupe orthogonal O(3) est composé de toutes les matrices orthogonales, y compris celles dont le déterminant est égal à -1. Nous appelons ces matrices (93)
Comme dans la section précédente, nous pouvons obtenir toutes les matrices orthogonales à partir de SO(3) par :
(94)
L étant la matrice diagonale :
(95)
(96)
Tout cela est redondant. Mais cela fait apparaître immédiatement les symétries fondamentales.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Il existe des « matrices miroir » qui inversent l'orientation des objets, transformant ces objets en leur image dans un miroir :
(100)
Donnez un exemple d'objet orienté dont l'orientation est inversée par cette symétrie miroir :
(101)
...Il s'agit de la surface inventée par Werner Boy, étudiant de Hilbert. Une attention particulière sera portée à cet objet intéressant dans la section du site consacrée aux mathématiques. Nous avons retiré une partie de la surface afin de montrer le point triple T.
...Vous pouvez appeler l'un de ces objets « droit » ou « gauche ». Personne n'a jamais indiqué quel était le mouvement de rotation « droit » de la surface de Boy. En tout cas : pourquoi faire tourner une surface de Boy ? Certains prétendent qu'elle peut voler, mais je suis sceptique.
Suivant :
(102)
(103)
(104)
...Comme en géométrie 2D (symétrie par rapport à l'origine), la symétrie par rapport à l'axe des x est équivalente à une rotation de π. Enfin :
(105)
qui change l'orientation des objets.
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
- Take a sphere, a peculiar sphere.
- Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the *regularity *of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
- Take a point of a three-dimensional space.
- Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
- Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
...In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its *movement *.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
...I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90) Horse's move
...Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
...Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3 b7-b5 and so on.....
...You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( DC , DL )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"* based on their behaviour *.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
**Orthogonal group **O(3).
...We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det ( a ) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
...The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
L being the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
...This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
...You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
...As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of p . Finally :
(105)
which change the orientation of objects.