समूह और भौतिकी सह-क्रिया गति संवेग

समूह और भौतिकी सह-क्रिया संवेग

पोइंकारे समूह Gp का एक तत्व gp एक अनुक्रम {pi} द्वारा परिभाषित है, जिसकी संख्या हम पहले ही कह चुके हैं कि इसका समूह का आयाम है। g (g = e) की मैट्रिक्स {dpi} के मात्राओं से बनी है। अतः उपरोक्त अनुप्रयोग निम्न प्रकार का है:
(81)

दूसरे शब्दों में, एक स्केलर {dpi} के समूह को उतने ही स्केलर {dpi'} के समूह से संबंधित किया जाता है। द्वैतता के अनुसार एक स्केलर की अपरिवर्तनीयता की प्रतिज्ञा की जाती है, जैसे:

(82)

जहाँ n समूह का आयाम है (पोइंकारे समूह के लिए दस)। स्केलर Ji के समान संख्या में घूर्णन संवेग के घटक हैं।

हम इस संवेग J को दो वस्तुओं में विभाजित करने का निर्णय लेंगे। पहला एक (4,4) आकार की विपरीत-सममित मैट्रिक्स M होगी, जिसमें छह घटक होंगे, और दूसरा एक "चतुर्विमीय सदिश" P, (4,1) आकार की मैट्रिक्स होगी:

(83)

(84) J = { M , p , E} = { M , P } हम डॉट गुणनफल को निम्न रूप में लिखेंगे:

(85)

Tr का अर्थ है "निश्चित गुणनफल का", और हमें फिर से मिलता है:

(86)

यह रैखिक रूप है जिसकी अपरिवर्तनीयता द्वैतता को सुनिश्चित करती है।

जहाँ:

(87) (87b)

(87c)

लेकिन GG = 1 अतः यह मान है:

(88)

y के पदों की पहचान करें (89)

यानी:

(90)

----> यहाँ मैट्रिक्स गणना के विवरण आते हैं। आप चाहें तो यहाँ क्लिक करके सीधे परिणाम पर जा सकते हैं

निश्चित गुणनफल में मैट्रिक्स के पदों को चक्रीय रूप से बदला जा सकता है।
(90a)

(90b)

(90c)

दूसरे पद का दाहिना हिस्सा एक पंक्ति मैट्रिक्स और एक स्तंभ मैट्रिक्स के गुणनफल के बराबर है।

यह उलटे गुणनफल के निश्चित गुणनफल के बराबर है (नीचे संक्षेप में एक पंक्ति मैट्रिक्स और एक स्तंभ मैट्रिक्स का गुणनफल):
(90d)

इस निश्चित गुणनफल में, मैं चक्रीय पुनर्व्यवस्था कर सकता हूँ:
(90e)

इसलिए:
(90f)

(90g)

यहाँ हम फिर से मैट्रिक्स के निश्चित गुणनफलों के लिए नियम लागू करेंगे जो एक अन्य मैट्रिक्स और एक सममित मैट्रिक्स के गुणनफल के रूप में होते हैं।

कोई भी मैट्रिक्स सममित या विपरीत-सममित बनाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, एक मैट्रिक्स और एक सममित मैट्रिक्स के गुणनफल का निश्चित गुणनफल शून्य होता है।
(90h)

मैं इसे मैट्रिक्स (90i) पर लागू कर सकता हूँ क्योंकि हम निश्चित गुणनफल ले रहे हैं
(90j)

(90k) = सममित ( ) + विपरीत-सममित ( )

लेकिन:
(90l)

अतः
(90m) (90n)
(90o)
(90p)

और:
(90q)

अंततः:
(90r)

समूहित करने और प्राइम को दूसरी ओर ले जाने पर मैं अपने समूह की क्रिया प्राप्त करता हूँ:

चित्र