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Matrices orthogonales. Groupes orthogonaux.
Considérons une matrice carrée a. La matrice transposée correspond à l'échange des termes symétriques par rapport à la diagonale, comme indiqué sur la figure :
(38)
Nous notons la matrice inverse a-1
Elle obéit à la relation :
a × a-1 = 1
À partir de maintenant, nous ne noterons plus le signe × et écrirons simplement : a a-1 = 1. Lorsque deux lettres en gras sont côte à côte, nous considérons qu'elles correspondent automatiquement au produit de deux matrices.
Une matrice orthogonale est une matrice dont l'inverse coïncide avec sa transposée.
(38b)
On peut montrer que :
(38c)
d'où le déterminant d'une matrice orthogonale est ± 1.
Elles sont des matrices orthogonales de tout rang (n,n). Elles forment des groupes
O(n) O(n) est l'ensemble des matrices orthogonales (n,n).
Considérons les matrices :
(39)
Elles sont des matrices orthogonales, dont le déterminant est :
det ( g) = +1
C'est un sous-groupe du groupe orthogonal O(2), appelé « groupe orthogonal spécial » SO(2).
Nous avons un groupe orthogonal O(3), composé de matrices orthogonales (3,3), dont le déterminant = ± 1. Il possède un sous-groupe SO(3) composé de matrices orthogonales dont le déterminant est + 1.
En quatre dimensions : nous avons le groupe orthogonal O(4) et son sous-groupe : le groupe orthogonal spécial SO(4).
n dimensions : groupe orthogonal O(n), composé de matrices orthogonales (n,n), dont le déterminant est ± 1. Il possède un sous-groupe appelé orthogonal spécial SO(n), limité aux matrices orthogonales dont le déterminant est + 1.
On peut montrer que la dimension d'un groupe orthogonal est (40)
Application à l'espace à deux dimensions : la dimension du groupe est 1.
Application à l'espace à trois dimensions, la dimension du groupe est trois (les trois angles d'Euler).
Application à l'espace à quatre dimensions, la dimension devient six.
Nous avons introduit le groupe spécial euclidien orienté SE(2) :
(41)
Qui combine rotations et translations.
Notons :
(42)
Alors nous pouvons écrire la matrice et son action sur l'espace :
(43)
Remarque :
(44)
Dans notre espace plat à deux dimensions, dans notre plan, nous trouvons des objets comme :
(45)
En considérant ces objets particuliers :
(46)
ils appartiennent à une même espèce. Si je prends n'importe quel couple de ces objets, je peux trouver un élément du groupe qui amène le premier sur le second, et réciproquement.
Le deuxième sous-ensemble d'objets :
(47)
appartient à une autre espèce.
Le troisième aussi :
(48)
Mais :
(49)
Je ne peux pas trouver de combinaison de rotation a plus translation c qui permette de passer de l'un à l'autre.
Pouvons-nous modifier le groupe euclidien orienté afin de rendre cela possible ?
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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Orthogonal matrixes. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?