kelompok dan aksi ko-adjoint fisika momentum
| 7 |
|---|
Elemen gp dari kelompok Poincaré Gp didefinisikan oleh suatu rangkaian parameter {pi}, yang jumlahnya, seperti telah kita sebutkan, mewakili dimensi kelompok. Matriks g (g = e) terdiri dari kuantitas {dpi}. Oleh karena itu, aplikasi di atas berbentuk:
(81)
Dengan kata lain, kepada suatu himpunan skalar dpi kita memetakan sejumlah skalar dpi' yang sama. Dualitas didefinisikan dengan mengasumsikan invariansi suatu skalar, menurut:
(82)
n menyatakan dimensi kelompok (sepuluh, untuk kelompok Poincaré). Skalar Ji mewakili komponen-komponen momentum, dengan jumlah yang sama.
Kita akan memutuskan untuk memecah momentum J menjadi dua objek. Yang pertama adalah matriks M anti-simetris berukuran (4,4), sehingga memiliki enam komponen, dan yang kedua adalah "kuadrivektor" P, matriks berukuran (4,1):
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } Kita akan menuliskan hasil kali skalar dalam bentuk:
(85)
Tr berarti "trace dari", dan kita akan memperoleh:
(86)
bentuk linier yang invariansinya menjamin dualitas.
dengan:
(87) (87b)
(87c)
tetapi GG = 1, sehingga ini bernilai:
(88)
Identifikasi suku-suku dalam y (89)
Artinya:
(90)
----> Di sini lagi-lagi disertakan detail perhitungan matriks. Jika Anda ingin, klik di sini untuk langsung menuju hasilnya.
Dalam trace, kita dapat melakukan permutasi sirkuler dari suku-suku.
(90a)
(90b)
(90c)
suku kedua di ruas kanan sama dengan hasil kali matriks baris dengan matriks kolom.
Ini sama dengan trace dari hasil kali terbalik (berikut ini secara skematis, hasil kali matriks baris dengan matriks kolom):
(90d)
Dalam trace ini, saya dapat melakukan permutasi sirkuler:
(90e)
Dari sini:
(90f)
(90g)
Di sini kita akan menerapkan kembali teorema tentang trace matriks yang merupakan hasil kali matriks lain dengan matriks simetris.
Setiap matriks dapat dibuat simetris atau antisimetris. Selain itu, trace dari hasil kali matriks dengan matriks simetris adalah nol.
(90h)
Saya dapat menerapkan hal ini pada matriks (90i) karena kita mengambil trace
(90j)
(90k) = simetris ( ) + antisimetris ( )
tetapi:
(90l)
sehingga
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
dan:
(90q)
akhirnya:
(90r)
Dengan mengelompokkan dan menukar posisi tanda prima, saya memperoleh aksi kelompok saya:
Gambar
