Geometri permukaan Boy model polihedral permukaan Roman Steiner

Cara mengubah permukaan Cross Cap menjadi permukaan Boy (kanan atau kiri, sesuai pilihan), melalui permukaan Roman Steiner.

Bahasa Italia: Andrea Sambusetti, Universitas Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 September - 25 Oktober 2003

Halaman 4

Kami memperkenalkan model ini dari sudut pandang lain:

Tabel 14: Kita terus melakukan operasi yang sama, menciptakan "telinga ketiga" dari kurva interseksi diri. Dalam model polihedral, bagian terakhir ini berbentuk tiga persegi dengan satu titik sudut bersama: titik tiga kali lipat T.

Tabel 15: Dengan memutar objek, Anda akan menemukan versi polihedral dari permukaan Boy yang pernah saya tampilkan di Topologicon (di sana Anda juga bisa menemukan panduan perakitan yang memungkinkan Anda membangunnya sendiri).

Tabel terakhir: Saya berusaha menggambarkan bagaimana permukaan Steiner berkelit dan berubah menjadi permukaan Boy.

Kita lihat bahwa, digambarkan dalam bentuk "bulat", butuh latihan cukup lama untuk memahaminya. Mata kita merasa sangat tidak nyaman saat mencoba memahami objek di mana lebih dari dua permukaan tumpang tindih pada satu garis pandangan visual. Di sinilah nilai model polihedral muncul, yang membuat transformasi rumit dalam geometri menjadi terjangkau bagi siapa saja, asalkan mereka mencoba membuat model kecil sendiri. Secara tidak langsung, perlu dicatat bahwa tergantung pada pasangan titik kuspidal yang dipilih, kita mendapatkan permukaan Boy "kanan" atau "kiri" (definisi yang sepenuhnya sembarangan). Bidang proyekif terbenam ke dalam ruang melalui dua representasi "antiautomorfik" yang saling mencerminkan. Jadi kita juga melihat bahwa kita bisa berpindah dari permukaan Boy kanan ke permukaan Boy kiri melalui model "tengah" yang merupakan permukaan Roman Steiner.

Tentu saja, sangat menyenangkan jika gambar-gambar ini dipublikasikan di majalah seperti Pour la Science atau La Recherche. Namun selama dua dekade terakhir saya "dilarang" untuk mempublikasikan di majalah-majalah tersebut karena alasan deviasi ufologis. Terima kasih, Tuan Hervé This dan Philippe Boulanger. Saya sudah kehilangan hitungan berapa banyak artikel semacam ini yang saya ajukan ke majalah-majalah tersebut dan yang dengan sopan ditolak. Akhirnya, kita terbiasa dengan status sebagai orang yang dilarang.

Secara anekdot, ada "Penghargaan Alembert" yang ditujukan untuk menghargai penulis buku-buku populer matematika. Cerita ini saya dengar dari salah satu anggota komite yang bertugas menentukan penerima penghargaan (tentu saja ada urusan uang di baliknya). Dialog:

Jadi, mengapa kita tidak memberikan penghargaan kepada Petit? Ia telah menulis karya-karya luar biasa seperti "Géométricon", "Trou Noir", dan "Topologicon".
Ya, tapi ia tidak hanya menulis itu saja.
Apa maksud Anda?
Ia juga menulis "Mur du Silence".
Ah, kalau begitu...

Ya, benar, "Mur du Silence", yang diterbitkan pada tahun 1983, adalah album yang didedikasikan untuk MHD. Dan seperti yang kita semua tahu, ilmu korosif ini memiliki kelebihan atau kekurangan, yaitu memungkinkan cakram terbang bergerak dengan kecepatan supersonik tanpa menghasilkan suara "BANG".

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Di kotak-kotak saya ada versi luar biasa dari "pembalikan kubus", yang bukan versi polihedral dari varian Morin. Semuanya hasil karya saya sendiri. Suatu hari nanti....

22 Oktober 2003: Tidak terlalu banyak usaha di halaman-halaman ini, jika saya percaya pada penghitung kunjungan. Pada hari Senin, 13 Oktober 2003, saya memberikan seminar di CMI (Pusat Matematika dan Informatika Château-Gombert-Marseille) atas undangan Trotman. Pada kesempatan itu, saya bisa menampilkan koleksi sekitar tiga puluh model kertas, yang suatu hari nanti bisa Anda nikmati, karena telah difoto oleh Christophe Tardy.

Saat memberikan seminar, suasana tertentu tercipta. Dalam foto di bawah ini, tampak seorang ahli geometri yang menunjukkan keraguan.

Di latar belakang, sebagian dari model-model yang dipamerkan dengan bantuan kolaborator saya yang sudah lama bekerja sama, Boris Kolev, juga seorang ahli geometri dari departemen tersebut. Pada suatu saat saya bertanya:

Berapa banyak dari Anda yang sudah pernah melihat permukaan Roman Steiner? Angkat tangan.

Tidak ada yang pernah melihatnya. Maka saya merasa perlu memperkenalkan objek ini, menggunakan program realitas virtual di laptop yang saya bawa, program yang dibuat dengan bantuan Christophe Tardy, insinyur, dan Frédéric Descamp dari Institut Laue Langevin di Grenoble (ILL). Jelas, paparan ini mengejutkan audiens, yang kurang terbiasa melihat permukaan matematika melakukan putaran bebas.

Dua tabel kertas, yang terlihat jelas di depan, memungkinkan saya memperkenalkan seluruh urutan model-model dalam urutan logisnya. Model berwarna hijau dan kuning menggambarkan, dalam bentuk polihedral, alat utama untuk menciptakan dan melepas pasangan titik kuspidal. Objek putih yang lebih jauh adalah versi polihedral dari permukaan Cross Cap, yang berubah terlebih dahulu menjadi versi polihedral dari permukaan Roman Steiner, kemudian, satu meter lebih jauh, sesuai keinginan, menjadi permukaan Boy "kanan" atau "kiri".

Analisis model-model ini menghasilkan berbagai observasi dari audiens. Salah satu ahli geometri bertanya:

*- Jika benar bahwa dengan mengikuti model-model ini dalam urutan ini, kita bisa berpindah dari permukaan Cross Cap ke permukaan Boy, tampaknya dengan mengikuti prosedur terbalik, kita bisa mengubah permukaan Boy menjadi Cross Cap. *

Saya menjawab secara afirmatif. Dengan berani, lawan bicara saya menambahkan:

*- Maka, jika kita berhenti pada tahap permukaan Roman Steiner, seharusnya kita bisa kembali ke permukaan Boy, tetapi tercermin terhadap permukaan awal. *

Saya setuju sekali lagi. Namun, sayangnya, tidak ada yang mau memberikan penjelasan lebih lanjut tentang dunia aneh ini, di mana kita memungkinkan permukaan tertutup yang terbenam memiliki titik kuspidal yang diciptakan atau dihilangkan berpasangan, yang membentuk semacam perluasan dari dunia perbenaman. Istilah "summersion" tampaknya sangat tepat. Jika ada pembaca yang bisa memberikan penjelasan, silakan menyambutnya.

Kelengkungan terkonsentrasi di titik kuspidal.

Kita akan menghitungnya dengan menjumlahkan sudut-sudut di titik sudut dan membandingkannya dengan hasil yang diperoleh pada kasus bidang Euclidean: 2π.

Di kiri atas, Anda bisa melihat salah satu dari banyak representasi polihedral yang mungkin dari titik kuspidal. Dengan "melepas" permukaan, kita mendapatkan jumlah sudut yang melebihi nilai 2π sebesar 2α. Dari sini disimpulkan bahwa kelengkungan sudut yang terkonsentrasi di sekitar titik C adalah -2α. Jika sudut α sama dengan π/2, maka kelengkungan negatifnya adalah -π (gambar di kiri bawah). Faktanya, kelengkungan titik kuspidal bisa memiliki tak hingga nilai. Di kanan bawah, kita memperkuat jumlah sudut dan kelengkungan menjadi < -π (kita telah meningkatkan kelengkungan negatif).

Dengan cara terbalik, kita bisa mencapai situasi yang cukup mengejutkan: kita bisa membuat kelengkungan (sudut) yang terkonsentrasi di C menjadi ... nol:

Sekarang mari kita mulai dari representasi polihedral permukaan Cross Cap yang memiliki dua titik kuspidal, masing-masing dengan kelengkungan -π:

Pada gambar ini terdapat delapan "posiconi" dengan nilai +π/2. Tambahkan empat "posiconi" lain dengan kelengkungan +π/4 dan empat "negaconi" dengan kelengkungan -π/4.

Ditambah dua titik kuspidal dengan kelengkungan -π.

Total: 2π

Dengan membagi nilai "kelengkungan total" ini dengan 2π, kita kembali menemukan nilai karakteristik Euler-Poincaré dari representasi apa pun dari bidang proyekif (atau permukaan Boy).

Selama seminar, saya menyebutkan seni dan cara menukar dua titik kuspidal pada permukaan Cross Cap menggunakan pembalikan bola. Saya tidak tahu lagi apakah saya pernah memasukkan hal ini di situs saya. Sangat rumit. Saya harus mencarinya, kalau tidak akan saya tambahkan. Ini menyenangkan. Yang jelas, operasi ini tidak disukai oleh salah satu orang yang hadir dalam seminar:

Saya tidak mengerti mengapa Petit menggunakan banyak alat rumit untuk membuktikan simetri yang menghubungkan dua titik kuspidal pada Cross Cap. Bisa dilakukan jauh lebih sederhana.

Lalu dia menggambar di papan tulis bola yang dipipihkan antara dua penggaris yang saling bersentuhan, yang sebenarnya menghasilkan garis interseksi diri berbentuk segmen dengan dua titik kuspidal di ujungnya, seperti permukaan Cross Cap. Sayangnya, dan orang yang bersangkutan menyadarinya, ini bukan permukaan Cross Cap.

Apa sebenarnya ini? Tanya seseorang.

Ini hanyalah perbenaman bola dengan dua titik kuspidal. Jika kita menggabungkan keduanya ke satu titik, maka garis interseksi diri berubah menjadi lingkaran. Dan kita mendapatkan (di kanan bawah) perbenaman bola yang hanya perlu kita ubah menjadi embedding standar. Kita juga bisa memberikan representasi polihedral dari permukaan ini:

Ini adalah permukaan dua sisi dengan kelengkungan total 2π.

Jadi, kita bisa bersenang-senang cukup banyak dengan "summersion" ini. Pertimbangkan perbenaman torus yang diperoleh dengan memutar simbol "tak hingga" mengelilingi suatu sumbu:

Teknik menggabungkan titik kuspidal menjadi satu titik memungkinkan kita mencapai embedding standar torus dengan cepat, seperti yang dijelaskan di atas melalui gambar-gambar berurutan.

Namun, tidak selalu semudah itu. Ambil contoh bola yang dipipihkan antara dua segmen yang kali ini lebih pendek dari diameter. Kita tetap mendapatkan dua titik kuspidal.

Karena permukaan ini mengandung pita Möbius, maka permukaan ini bersifat satu sisi. Kami menempatkan representasi polihedral di sampingnya agar bisa menghitung kelengkungan totalnya. Hasilnya adalah nol. Jika saya tidak salah, maka ini haruslah botol Klein. Umumnya, kita hanya mengenal perbenaman klasik botol Klein, di mana garis interseksi diri berbentuk lingkaran sederhana. Tapi ada juga perbenaman lain, seperti ini. Saya akui belum menemukan cara mengubahnya menjadi botol Klein biasa. Di sisi lain, saya juga tidak tahu apakah "perbenaman" ini dan perbenaman klasik berada dalam kelas homotopi yang sama (untuk bola, misalnya, hanya ada satu kelas). Secara umum, tidak bisa dipastikan: torus sebenarnya bisa diperbenamkan dalam empat cara berbeda di ruang tiga dimensi, yang tidak bisa diubah satu sama lain melalui homotopi halus. Sambil menunggu penemuan apakah hal ini mungkin atau tidak, saya bersenang-senang dengan mengubahnya dengan menambahkan dua titik kuspidal lagi, sehingga menghasilkan dua Cross Cap yang dihubungkan oleh pipa. Dengan memecahnya, kita menemukan bahwa karakteristik Euler-Poincaré adalah nol.

Permukaan aneh ini seharusnya berubah menjadi salah satu dari empat perbenaman yang mungkin dari botol Klein, tetapi yang mana? Dalam kasus apa pun, berikut ini adalah salah satu yang diperoleh dengan memutar angka 8 mengelilingi suatu sumbu, sementara angka itu sendiri melakukan setengah putaran pada dirinya sendiri:

Halaman sebelumnya

Kembali ke indeks "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"

Kembali ke bagian Berita Terkini Kembali ke bagian Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan sejak 25 November 2004: