Geometri Permukaan: Model Matematis

Cara mengubah permukaan Cross Cap menjadi permukaan Boy (kanan atau kiri, sesuai pilihan), dengan melewati permukaan Steiner Romawi.

Bahasa Italia: Andrea Sambusetti, Universitas Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 September - 25 Oktober 2003

Halaman 4

Kami memperkenalkan model ini dari sudut pandang lain:

Tabel 14: Kita terus melakukan operasi yang sama, menciptakan "telinga ketiga" dari kurva interseksi diri. Dalam model polihedral, bagian terakhir ini berbentuk tiga persegi dengan satu titik sudut bersama: titik tripel T.

Tabel 15: Dengan memutar objek, Anda akan menemukan versi polihedral dari permukaan Boy yang pernah saya perkenalkan dalam Topologicon (di mana Anda juga dapat menemukan panduan perakitan yang memungkinkan Anda membangunnya sendiri).

Tabel terakhir: Saya berusaha menggambarkan bagaimana permukaan Steiner berkelit dan berubah menjadi permukaan Boy.

Kita lihat bahwa, jika digambarkan dalam bentuk "bulat", dibutuhkan banyak latihan untuk memahaminya. Mata kita sangat tidak nyaman saat mencoba memahami objek di mana lebih dari dua permukaan saling tumpang tindih pada garis pandangan yang sama. Dari sinilah muncul nilai penting dari model polihedral, yang membuat transformasi yang dianggap rumit dalam geometri menjadi dapat diakses oleh siapa saja, asalkan mereka mencoba membuat model kecil sendiri. Secara tidak langsung, perlu dicatat bahwa, tergantung pada pasangan titik kuspidal yang dipilih, kita mendapatkan permukaan Boy "kanan" atau "kiri" (definisi yang sepenuhnya arbitrer). Bidang proyekif terendam dalam ruang melalui dua representasi "antiautomorfik" yang saling mencerminkan. Jadi kita juga melihat bahwa kita dapat berpindah dari permukaan Boy kanan ke permukaan Boy kiri melalui model "tengah" yang merupakan permukaan Steiner Romawi.

Tentu saja, akan sangat menyenangkan jika gambar-gambar ini dipublikasikan di majalah seperti Pour la Science atau La Recherche. Namun selama dua dekade terakhir saya dilarang mempublikasikan di majalah-majalah tersebut karena alasan "deviasi ufologis". Terima kasih, Tuan Hervé This dan Philippe Boulanger. Saya sudah kehilangan hitungan berapa banyak artikel semacam ini yang saya ajukan ke majalah-majalah tersebut dan yang dengan sopan ditolak. Akhirnya, kita terbiasa dengan status sebagai orang yang dilarang.

Secara anekdot, ada "Penghargaan Alembert" yang ditujukan untuk menghargai penulis buku-buku populer matematika. Kisah ini saya dengar dari salah satu anggota komisi yang bertugas menentukan siapa yang layak menerima penghargaan tersebut (tentu saja ada urusan uang di baliknya). Dialog:

Jadi, mengapa kita tidak memberikan penghargaan kepada Petit? Ia telah menulis karya-karya luar biasa seperti "Géométricon", "Trou Noir", dan "Topologicon".
Ya, tapi ia tidak hanya menulis itu saja.
Apa yang Anda maksud?
Ia juga menulis "Mur du Silence".
Ah, kalau begitu...

Ya, benar, "Mur du Silence", yang diterbitkan pada tahun 1983, adalah album yang didedikasikan untuk MHD. Dan seperti yang diketahui semua orang, ilmu yang korosif ini memiliki kelebihan (atau kekurangan), yaitu memungkinkan cakram terbang bergerak dengan kecepatan supersonik tanpa menghasilkan ledakan.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Di kotak-kotak saya ada versi luar biasa dari "pembalikan kubus", yang bukan versi polihedral dari varian Morin. Semuanya hasil karya saya sendiri. Suatu hari nanti....

22 Oktober 2003: Tidak perlu terlalu bersusah payah di halaman-halaman ini, jika saya percaya pada penghitung kunjungan. Pada hari Senin, 13 Oktober 2003, saya memberikan seminar di CMI (Pusat Matematika dan Informatika Château-Gombert-Marseille) atas undangan Trotman. Pada kesempatan itu saya bisa menampilkan koleksi sekitar tiga puluh model dari kertas karton, yang suatu hari nanti akan bisa dinikmati oleh Anda, karena telah difoto oleh Christophe Tardy.

Saat memberikan seminar, suasana tertentu tercipta. Dalam foto di bawah ini, tampak seorang ahli geometri yang menunjukkan keraguan.

Di latar belakang, sebagian dari model-model yang dipajang dengan bantuan kolaborator saya yang sudah lama bekerja sama, Boris Kolev, juga seorang ahli geometri dari departemen tersebut. Pada suatu saat saya mengajukan pertanyaan:

Berapa banyak dari Anda yang sudah pernah melihat permukaan Steiner Romawi? Angkat tangan.

Tidak ada yang pernah melihatnya. Saya merasa perlu untuk memperkenalkan objek ini, menggunakan program realitas virtual di laptop yang saya bawa, program yang dibuat dengan bantuan Christophe Tardy, insinyur, dan Frédéric Descamp dari Institut Laue Langevin di Grenoble (ILL). Jelas, presentasi ini mengejutkan audiens, yang tidak terbiasa melihat permukaan matematis berputar-putar sesuai keinginan.

Dua tabel kertas yang terlihat di depan, memungkinkan saya menampilkan seluruh urutan model-model dalam urutan logis. Model berwarna hijau dan kuning menggambarkan, dalam bentuk polihedral, alat penting untuk penciptaan dan pelepasan pasangan titik kuspidal. Objek putih yang lebih jauh adalah versi polihedral dari permukaan Cross Cap, yang berubah terlebih dahulu menjadi versi polihedral dari permukaan Steiner Romawi, lalu, satu meter lebih jauh, sesuai keinginan, menjadi permukaan Boy "kanan" atau "kiri".

Analisis model-model ini memunculkan berbagai observasi dari audiens. Salah satu ahli geometri bertanya:

*- Jika benar bahwa dengan mengikuti model-model ini dalam urutan ini, kita bisa berpindah dari permukaan Cross Cap ke permukaan Boy, tampaknya dengan mengikuti prosedur terbalik, kita bisa mengubah permukaan Boy menjadi Cross Cap. *

Saya menjawab dengan mengiyakan. Dengan semakin berani, lawan bicara saya menambahkan:

*- Maka, jika kita berhenti pada tahap permukaan Steiner Romawi, seharusnya mungkin kembali ke permukaan Boy, tetapi tercermin terhadap permukaan awal. *

Saya setuju sekali lagi. Namun, sayangnya, tidak ada yang mau memberikan penjelasan lebih lanjut tentang dunia aneh ini di mana kita memungkinkan permukaan tertutup yang terendam memiliki titik kuspidal yang dibentuk atau dilepaskan secara berpasangan, yang keseluruhannya merupakan semacam perluasan dari dunia endaman. Istilah "summersion" tampaknya cocok. Jika ada pembaca yang mampu memberikan penjelasan, silakan menyambutnya.

Kelengkungan terkonsentrasi di satu titik kuspidal.

Kita akan menghitungnya dengan menjumlahkan sudut-sudut di titik sudut dan membandingkannya dengan hasil yang diperoleh pada kasus bidang Euclidean: 2π.

Di kiri atas, Anda bisa melihat salah satu dari banyak representasi polihedral yang mungkin dari titik kuspidal. Dengan "melepas" permukaan, kita mendapatkan jumlah sudut yang melebihi nilai 2π sebesar 2α. Dari sini disimpulkan bahwa kelengkungan sudut yang terkonsentrasi di sekitar titik C adalah -2α. Jika sudut α sama dengan π/2, maka kelengkungan negatif bernilai -π (gambar di kiri bawah). Faktanya, kelengkungan di titik kuspidal bisa mengambil tak hingga nilai. Di kanan bawah, kita menekankan jumlah sudut dan kelengkungan menjadi < -π (kita telah meningkatkan kelengkungan negatif).

Dengan cara terbalik, kita bisa mencapai situasi yang cukup mengejutkan: kita bisa membuat kelengkungan (sudut) yang terkonsentrasi di C menjadi ... nol:

Sekarang kita mulai dari representasi polihedral dari permukaan Cross Cap yang memiliki dua titik kuspidal, masing-masing dengan kelengkungan -π:

Dalam gambar ini terdapat delapan "posiconi" dengan nilai +π/2. Tambahkan empat "posiconi" lain dengan kelengkungan +π/4 dan empat "negaconi" dengan kelengkungan -π/4.

Ditambah dua titik kuspidal dengan kelengkungan -π.

Total: 2π

Dengan membagi nilai "kelengkungan total" ini dengan 2π, kita kembali mendapatkan nilai karakteristik Euler-Poincaré dari representasi apa pun dari bidang proyekif (atau permukaan Boy).

Selama seminar, saya menyebutkan seni dan cara menukar dua titik kuspidal pada permukaan Cross Cap menggunakan pembalikan bola. Saya tidak tahu lagi apakah saya pernah menaruh hal ini di situs saya. Ini sangat rumit. Saya harus mencarinya, kalau tidak akan saya tambahkan. Ini menyenangkan. Yang jelas, operasi ini tidak disukai oleh salah satu orang yang hadir dalam seminar:

Saya tidak mengerti mengapa Petit menggunakan banyak alat rumit untuk membuktikan simetri yang menghubungkan dua titik kuspidal pada Cross Cap. Ini bisa dilakukan jauh lebih sederhana.

Lalu ia menggambar bola yang dipipihkan antara dua penggaris yang saling menyentuh, yang secara nyata menghasilkan garis interseksi diri berbentuk segmen dengan dua titik kuspidal di ujung-ujungnya, seperti permukaan Cross Cap. Sayangnya, dan orang yang bersangkutan menyadarinya, ini bukan permukaan Cross Cap.

Apa sebenarnya ini? Tanya seseorang.

Ini hanyalah endaman bola dengan dua titik kuspidal. Jika kita menggabungkan keduanya ke satu titik, maka garis interseksi diri menjadi lingkaran. Dan kita mendapatkan (di kanan bawah) endaman bola yang hanya perlu kita ubah menjadi embedding standar. Kita juga bisa memberikan representasi polihedral dari permukaan ini:

Ini adalah permukaan dua sisi dengan kelengkungan total 2π.

Jadi, kita bisa bersenang-senang cukup banyak dengan "summersion" ini. Pertimbangkan endaman torus yang diperoleh dengan memutar simbol "tak hingga" mengelilingi suatu sumbu:

Teknik menggabungkan titik-titik kuspidal ke satu titik memungkinkan kita dengan cepat mencapai embedding standar torus, seperti yang dijelaskan di atas melalui gambar-gambar berurutan.

Namun, tidak selalu semudah itu dan jelas. Ambil contoh bola yang dipipihkan antara dua segmen yang kali ini lebih pendek dari diameter. Kita tetap mendapatkan dua titik kuspidal.

Karena permukaan ini mengandung pita Möbius, maka permukaan ini satu sisi. Kami menempatkan representasi polihedral di sampingnya untuk memungkinkan perhitungan kelengkungan total. Hasilnya adalah nol. Jika saya tidak salah, maka ini haruslah botol Klein. Umumnya hanya diketahui endaman klasik dari botol Klein, di mana garis interseksi diri berbentuk lingkaran sederhana. Tapi ada juga versi lain, seperti ini. Saya mengakui bahwa saya belum menemukan cara untuk mengubahnya menjadi botol Klein biasa. Di sisi lain, saya juga tidak tahu apakah "endaman" ini dan endaman klasik berada dalam kelas homotopi yang sama (untuk bola, misalnya, hanya ada satu). Secara awal, tidak dijamin: torus sebenarnya bisa diendam dalam empat cara berbeda di ruang tiga dimensi, yang tidak bisa diubah satu sama lain melalui homotopi teratur. Menunggu penemuan apakah ini mungkin atau tidak, saya bersenang-senang dengan mengubahnya dengan menambahkan dua titik kuspidal lagi, sehingga menghasilkan dua Cross Cap yang dihubungkan oleh pipa. Dengan memecahnya, kita menemukan bahwa karakteristik Euler-Poincaré bernilai nol.

Permukaan aneh ini seharusnya berubah menjadi salah satu dari empat kemungkinan endaman botol Klein, tetapi yang mana? Dalam semua kasus, berikut ini adalah salah satu yang diperoleh dengan memutar angka 8 mengelilingi suatu sumbu, sementara angka tersebut secara bersamaan melakukan setengah putaran pada dirinya sendiri:

Halaman sebelumnya

Kembali ke indeks "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"

Kembali ke bagian Berita Terbaru Kembali ke bagian Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan sejak 25 November 2004: