Sfera topologi model matematika
Bahasa Italia: Andrea Sambusetti, Universitas Roma
Klik di sini untuk menampilkan gambar model dalam skala 1:1, yang bisa dicetak dan dipotong.
Dengan menyalin empat contoh pada kertas karton bristol berwarna berbeda, Anda dapat membangun model tersebut sendiri, mengikuti petunjuk pemasangannya.
Anda pasti telah melihat benda aneh berputar tanpa henti di bagian kiri halaman awal situs ini. Apa itu?
Suatu hari, ketika saya menemukan waktu, saya akan memasang deskripsi tentang pembalikan sfera di situs ini, seperti yang telah saya ilustrasikan dalam edisi Pour la Science bulan Januari 1979, yaitu... 22 tahun yang lalu! Semuanya akan memerlukan banyak detail dan pengantar. Apa artinya "membalikkan sfera"? Sfera tidak memiliki arti yang sama bagi orang awam dan bagi matematikawan-geometri. Bagi orang awam, sfera hanyalah kumpulan titik-titik di ruang yang berjarak R dari titik O tertentu. Seorang geometer tetap menyebut "sfera", bahkan untuk objek yang merupakan "sfera yang terdeformasi", seperti kentang misalnya. Untuk memahami konsep-konsep ini secara lebih tepat, dapatkan CD Lanturlu yang berisi komik "Topologicon". Namun, seorang matematikawan melangkah lebih jauh. Permukaan disebut "reguler" jika di setiap titiknya dapat didefinisikan bidang singgung. Hal ini memungkinkan kita memikirkan tak hingga banyaknya deformasi reguler yang mungkin dari sfera, dalam berbagai bentuk kentang, serta mengubah luas permukaan tersebut secara sembarangan. Dengan demikian, dalam alam semesta fisik, seseorang yang mencoba membalikkan sfera (mengalihkan permukaan dalam ke luar) akan menghadapi ketidakmungkinan untuk membuat permukaannya menembus dirinya sendiri. Ketika asumsi ini diambil, yaitu melarang permukaan menembus dirinya sendiri atau bahkan hanya menyentuh, matematikawan menyebutnya "embedding" sfera S2. Namun, seorang matematikawan selalu bebas melakukan apa saja. Bagi dia, sfera adalah objek "virtual" dan bukan materi, sehingga penembusan oleh permukaan dianggap mungkin. Deret gambar di bawah ini menunjukkan sfera yang menembus dirinya sendiri. Representasi semacam ini, yang mengizinkan penembusan diri, disebut "immersion".
Sebuah immersion memiliki himpunan interseksi diri (di sini berupa kurva melingkar sederhana). Namun, bidang singgung harus berubah secara kontinu. Dengan asumsi ini, ketika melihat gambar di atas, jelas terlihat bahwa operasi ini membawa bagian permukaan dalam (yang digambarkan hijau) ke luar. Untuk menyelesaikan pembalikan, perlu menekan bagian seperti usus ekuator. Di sini tampaknya ada masalah: penekanan ini akan menghancurkan kekontinuan bidang singgung, sehingga transformasi ini mengandung langkah yang bukan merupakan immersion.
Suatu hari, seorang matematikawan Amerika, Stephen Smale, membuktikan bahwa "sfera S2 memiliki satu kelas immersion". Kalimat misterius ini menyiratkan bahwa kita harus bisa beralih, melalui transformasi yang hanya terdiri dari immersion sejati, dari sfera "standar" ke representasi "antipodal"nya, yaitu di mana setiap titik dipertukarkan dengan titik antipodalnya: secara sederhana... sfera yang dibalik. Raoul Bott adalah pembimbing Smale. Meskipun bukti formal dari fakta ini tampaknya benar, tidak ada yang tampak mampu secara konkret merealisasikan operasi pembalikan ini. Bott terus menanyakan kepada Smale, "Tunjukkan bagaimana Anda membayangkan melakukannya"; lalu Smale, yang terkenal blak-blakan, menjawab, "Saya tidak tahu sama sekali." Smale kemudian memperoleh medali Field, setara dengan Nobel dalam matematika. Sebagai catatan, Anda mungkin bertanya-tanya mengapa tidak ada hadiah Nobel untuk matematika. Jawabannya sederhana: istrinya kabur bersama seorang matematikawan.
Hal ini berlangsung begitu lama selama bertahun-tahun, hingga seorang matematikawan Amerika bernama Anthony Phillips menerbitkan versi pertama pembalikan ini pada tahun 1967 di Scientific American, yang sangat rumit. Versi kedua diciptakan pada awal tahun 1970 oleh matematikawan Prancis (buta) Bernard Morin. Saya adalah orang pertama yang menggambar urutan transformasi ini, yang akan menjadi objek, seperti yang telah saya umumkan, artikel mendatang di situs ini, yang juga sangat melimpah. Namun, semua ini membawa kita pada pertimbangan berikut. Permukaan dapat direpresentasikan dalam bentuk polihedral. Kubus atau tetrahedron dapat dianggap sebagai representasi polihedral dari sfera, dalam arti bahwa objek-objek ini memiliki topologi yang sama. Mengenai hal ini, silakan merujuk ke Topologicon saya. Selain itu, jelas bahwa jika sfera dapat dibalik, maka kubus juga dapat dibalik. Transformasi yang diciptakan oleh Bernard Morin (yang telah saya ilustrasikan dalam artikel Januari 1979 di Pour la Science) melewati model pusat. Ada simetri dalam urutan ini. Itulah yang saya sebut "model pusat dengan empat telinga". Saya sedang terburu-buru. Namun, seperti sfera yang dapat direpresentasikan secara polihedral, demikian juga langkah-langkah transformasi berikutnya. Apa yang Anda lihat berputar di halaman awal saya adalah versi polihedral dari model pusat pembalikan sfera, yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun lalu. Keunggulan model polihedral ini terletak pada kemampuannya dibuat dari permukaan datar. Mereka juga bisa dibuat dari kertas dan gunting. Lihat gambar di bawah ini (saya mengucapkan terima kasih kepada teman saya Christophe Tardy, yang membuat elemen-elemen dengan ukuran tepat).
Ini adalah gambaran umum dari peta perakitan. Namun, untuk mencetaknya lebih baik Anda beralih ke halaman découpage. Cetak halaman tersebut. Setelah itu, dengan satu contoh yang dicetak pada kertas biasa dari printer Anda, salin empat salinan identik, dua pada kertas karton bristol hijau, dan dua lainnya kuning. Dengan menggunakan lembaran-lembaran ini yang bisa dipotong, Anda akan mampu membangun model pusat pembalikan kubus.
Pada elemen-elemen yang harus dipotong terdapat pasangan huruf: a, b, c, d, e, f, dll. Cukup lipat kertas agar huruf yang sama bertemu, lalu tetapkan permukaannya dengan pita perekat transparan. Gambar-gambar berikut menunjukkan cara merakit salah satu dari empat bagian. Berikut ini adalah cara memulai melipat salah satu dari empat elemen:
Berikut ini dua dari empat elemen, dilihat dari sudut yang berbeda.
Kemudian susun agar membentuk objek dengan simetri orde empat, di mana elemen hijau dan kuning bergantian. Untuk melihatnya dalam 3D, lihatlah realisasi Tardy di bagian "realitas virtual". Model pusat telah dipasang dan juga dibuat dalam format "vrml" di bagian ini. Berikut ini model tersebut direpresentasikan dari berbagai sudut pandang:
Tidak bisa dikatakan bahwa satu sudut pandang mewakili "atas" dan yang lainnya "bawah", karena istilah-istilah tersebut sangat bersifat arbitrer. Pada gambar kiri, titik "pusat" mewakili "titik ganda" (di mana dua permukaan berpotongan) dari model pusat Morin, sementara titik tengah pada gambar kanan mewakili "titik empat" dari model yang sama (di mana empat permukaan berpotongan). Saya harus sangat hati-hati dalam mengarahkan objek agar gambar kiri tidak menyerupai swastika. Selain itu, dari sudut arsitektur, representasi polihedral model pusat Morin ini bisa menjadi proyek menarik untuk "Rumah Kebudayaan Sosialis Nasional".
Perhatian terakhir: tidak ada representasi polihedral yang baik dari pembalikan sfera (atau kubus). Dengan "baik", saya maksudkan urutan model yang cukup eksplisit sehingga dapat dijelaskan dalam bentuk lembaran yang bisa dipotong dengan cara yang relatif mudah, seperti model di atas. Studi semacam ini bisa dilakukan oleh siapa saja, bahkan bukan matematikawan, misalnya seorang pematung. Lebih dari dua puluh tahun lalu saya mengajar seni patung di Ecole des Beaux-Arts di Aix en Provence, ketika sang direktur adalah teman baik saya, Jacques Boullier. Di tempat inilah lahir representasi pertama dari permukaan Boy dalam bentuk elips, kunci dari pembuatan persamaan implisit pertama oleh Apéry. Saya harus mengakui bahwa bahkan pada masa itu saya terkejut oleh imajinasi geometris para mahasiswa seni, yang sering kali melampaui imajinasi para... ahli geometri.
Penghitung dipasang pada 31 Desember 2001. Jumlah koneksi :
Kembali ke halaman Berita Terbaru Halaman Awal
Gambar
