Topologi Bola Model Matematika
Bahasa Italia: Andrea Sambusetti, Universitas Roma
Klik di sini untuk menampilkan gambar model dalam skala 1:1, yang bisa dicetak dan dipotong.
Dengan menyalin empat contoh pada kertas karton berbeda warna, Anda dapat membangun model tersebut sendiri, mengikuti petunjuk pemasangan.
Anda pasti telah melihat benda aneh berputar tanpa henti di bagian kiri halaman utama situs ini. Apa itu?
Suatu hari, ketika saya punya waktu, saya akan memasang deskripsi pembalikan bola di situs ini, seperti yang saya gambarkan dalam edisi Pour la Science bulan Januari 1979, yaitu... 22 tahun lalu! Semuanya akan membutuhkan banyak detail dan pengantar. Apa artinya "membalikkan bola"? Bola memiliki makna berbeda bagi orang awam dan bagi ahli matematika-geometri. Bagi orang awam, bola hanyalah kumpulan titik-titik di ruang yang berjarak R dari titik O tertentu. Namun seorang ahli geometri tetap menyebut "bola", bahkan untuk objek yang merupakan "bola yang terdistorsi", seperti kentang misalnya. Untuk memahami konsep-konsep ini lebih tepat, dapatkan CD Lanturlu yang berisi komik "Topologicon". Namun seorang matematikawan melangkah lebih jauh. Permukaan dikatakan "reguler" ketika di setiap titiknya dapat didefinisikan bidang singgung. Hal ini memungkinkan kita memikirkan tak hingga banyaknya deformasi reguler bola, dalam berbagai bentuk kentang, serta memungkinkan variasi luas permukaan secara bebas. Dengan kata lain, dalam alam semesta fisik, seseorang yang mencoba membalikkan bola (menggeser permukaan dalam ke luar) akan menghadapi ketidakmungkinan untuk membuat permukaannya menembus dirinya sendiri. Ketika asumsi ini diambil, yaitu melarang permukaan menembus dirinya sendiri atau bahkan hanya menyentuh, maka matematikawan menyebutnya "embedding" bola S2. Namun seorang matematikawan selalu bebas melakukan apa saja. Baginya, bola adalah objek "virtual" dan bukan materi, sehingga penembusan lapisan dianggap mungkin. Urutan gambar di bawah ini menunjukkan bola yang menembus dirinya sendiri. Representasi semacam ini, yang mengizinkan penembusan diri, disebut "immersi".
Sebuah immersi memiliki himpunan interseksi diri (di sini berupa kurva melingkar sederhana). Namun bidang singgung harus berubah secara kontinu. Dengan asumsi ini, ketika melihat gambar di atas, jelas terlihat bahwa operasi tersebut membawa bagian permukaan dalam (yang digambarkan hijau) ke luar. Untuk menyelesaikan pembalikan, perlu menekan bagian seperti usus ekuatorial ini. Di sini tampaknya ada masalah: penekanan ini akan menghancurkan kekontinuan bidang singgung, sehingga transformasi tersebut mengandung langkah yang bukan immersi.
Suatu hari, seorang matematikawan Amerika, Stephen Smale, membuktikan bahwa "bola S2 memiliki satu kelas immersi". Kalimat misterius ini menyiratkan bahwa kita seharusnya bisa beralih, melalui transformasi yang hanya terdiri dari immersi murni, dari bola "standar" ke representasi "antipodal"nya, di mana setiap titik dipertukarkan dengan titik antipodalnya: dengan kata lain... bola yang dibalik. Raoul Bott adalah pembimbing Smale. Meskipun bukti formal dari fakta ini tampak benar, tidak ada yang tampaknya mampu secara konkret merealisasikan operasi pembalikan ini. Bott terus menanyakan kepada Smale, "Tunjukkan bagaimana Anda membayangkan melakukannya"; lalu Smale, yang terkenal jujur, menjawab, "Saya tidak punya bayangan sama sekali." Smale kemudian memperoleh medali Field, setara dengan Nobel dalam matematika. Sebagai catatan, Anda mungkin bertanya-tanya mengapa tidak ada penghargaan Nobel untuk matematika. Jawabannya sederhana: istrinya kabur bersama seorang matematikawan.
Hal ini berlangsung begitu lama selama bertahun-tahun, hingga akhirnya seorang matematikawan Amerika bernama Anthony Phillips menerbitkan versi pertama pembalikan ini pada tahun 1967 di Scientific American, yang sangat rumit. Versi kedua diciptakan pada awal tahun 1970 oleh matematikawan Prancis (tak berpenglihatan) Bernard Morin. Saya adalah orang pertama yang menggambar urutan transformasi ini, yang akan menjadi topik artikel berikutnya di situs ini, yang juga cukup kaya. Namun, semua ini membawa kita pada pertimbangan berikut. Permukaan dapat direpresentasikan dalam bentuk polihedral. Kubus atau tetrahedron dapat dianggap sebagai representasi polihedral bola, karena objek-objek ini memiliki topologi yang sama. Mengenai hal ini, silakan merujuk ke Topologicon saya. Selain itu, jelas bahwa jika bola dapat dibalik, maka kubus juga dapat dibalik. Transformasi yang diciptakan Bernard Morin (yang saya ilustrasikan dalam artikel Januari 1979 di Pour la Science) melewati model pusat. Ada simetri dalam urutan ini. Itulah yang saya sebut "model pusat dengan empat telinga". Saya sedang terburu-buru. Namun, karena bola dapat direpresentasikan dalam bentuk polihedral, demikian juga langkah-langkah transformasi berikutnya. Apa yang Anda lihat berputar di halaman utama saya adalah versi polihedral dari model pusat pembalikan bola, yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun lalu. Keunggulan model polihedral ini terletak pada kemampuannya dibuat dari permukaan datar. Mereka juga bisa dibuat dari kertas dan gunting. Lihat gambar di bawah ini (saya mengucapkan terima kasih secara terpisah kepada teman saya Christophe Tardy, yang membuat elemen-elemen dengan ukuran tepat).
Ini adalah gambaran umum dari peta pemasangan. Namun untuk mencetaknya, lebih baik Anda pergi ke halaman découpage. Cetak halaman tersebut. Setelah itu, dengan menggunakan salinan yang dicetak di kertas biasa dari printer Anda, salin empat salinan identik, dua di antaranya pada kertas karton hijau, dan dua lainnya pada kertas kuning. Dengan menggunakan lembaran yang bisa dipotong ini, Anda dapat membangun model pusat pembalikan kubus.
Pada elemen-elemen yang harus dipotong, terdapat pasangan huruf: a, b, c, d, e, f, dan seterusnya. Cukup lipat kertas agar huruf-huruf yang sama berimpit, lalu tetapkan sisi-sisinya dengan pita perekat transparan. Gambar-gambar berikut menunjukkan cara memasang salah satu dari empat bagian. Pertama-tama, inilah cara melipat salah satu dari empat elemen:
Berikut dua dari empat elemen, dilihat dari sudut yang berbeda.
Kemudian susun agar membentuk objek dengan simetri orde empat, dengan elemen hijau dan kuning bergantian. Untuk melihatnya dalam 3D, lihatlah realisasi Tardy di bagian "realitas virtual". Model pusat telah dipasang dan bahkan dibuat dalam format "vrml" di bagian ini. Berikut ini ditampilkan dari berbagai sudut pandang:
Tidak bisa dikatakan satu sudut pandang mewakili "atas" dan lainnya "bawah", karena penamaan ini sepenuhnya sewenang-wenang. Pada gambar kiri, titik "pusat" mewakili "titik ganda" (di mana dua lapisan berpotongan) dari model pusat Morin, sedangkan titik pusat pada gambar kanan mewakili "titik empat" dari model yang sama (di mana empat lapisan berpotongan). Saya harus sangat berhati-hati dalam mengarahkan objek ini agar gambar kiri tidak menyerupai swastika. Selain itu, dari sudut arsitektur, representasi polihedral model pusat Morin ini bisa menjadi proyek menarik untuk "Rumah Kebudayaan Sosialis Nasional".
Perhatian terakhir: tidak ada representasi polihedral yang baik untuk pembalikan bola (atau kubus). Dengan "baik" saya maksudkan urutan model yang cukup eksplisit sehingga bisa dijelaskan dalam bentuk lembaran yang bisa dipotong dengan relatif mudah, seperti model di atas. Studi semacam ini bisa dilakukan oleh siapa saja, bahkan bukan matematikawan, misalnya seorang pematung. Lebih dari dua puluh tahun lalu saya mengajar seni patung di Ecole des Beaux-Arts di Aix en Provence, saat itu Jacques Boullier, teman dekat saya, menjabat direktur. Di tempat inilah lahir representasi pertama permukaan Boy dalam bentuk meridian menggunakan elips, yang menjadi kunci pembentukan persamaan implisit pertama yang diberikan oleh Apéry. Saya harus mengakui bahwa pada waktu itu saya terkejut oleh imajinasi geometris para mahasiswa seni, yang sering kali melampaui imajinasi para... ahli geometri.
Penghitung dipasang pada 31 Desember 2001. Jumlah koneksi :
Kembali ke halaman Berita Terbaru Halaman Utama
Gambar
