Model pusat (berbentuk polihedron) dari pembalikan kubus
Model Pusat dari Pembalikan Kubus
31 Desember 2001
Anda semua telah melihat benda aneh berputar tanpa henti di bagian kiri halaman utama situs ini. Apa sebenarnya benda itu?
Suatu hari, ketika saya punya waktu, saya akan memasang di situs ini penjelasan tentang pembalikan bola, seperti yang pernah saya ilustrasikan dalam edisi Januari 1979 dari Pour la science, yaitu sekitar... 22 tahun yang lalu. Semua ini tentu membutuhkan banyak detail dan pengantar. Apa artinya membalikkan bola? Bola memiliki makna yang berbeda bagi orang awam dan matematikawan-geometri. Bagi orang awam, bola didefinisikan sebagai tempat semua titik yang berjarak R dari suatu titik tetap O dalam ruang tiga dimensi. Seorang ahli geometri akan tetap menyebut "bola" objek yang setara dengan "bola yang terdistorsi", semacam "kentang". Untuk memahami semua konsep ini dengan lebih tepat, dapatkan CD Lanturlu yang berisi komik "Le Topologicon". Namun, seorang matematikawan melangkah lebih jauh. Ketika suatu permukaan dikatakan "teratur", maka di setiap titiknya dapat didefinisikan bidang singgung. Hal ini sudah memungkinkan kita membayangkan tak hingga banyaknya deformasi dari "bola awal" menjadi tak hingga banyaknya bentuk kentang, terutama jika luas permukaan tersebut dapat berubah-ubah. Namun, dalam "alam fisik", orang yang memutar bola akan menghadapi keterbatasan untuk membuat bola menembus dirinya sendiri. Jika penembusan atau bahkan kontak antar bagian dilarang, maka kita menyebutnya sebagai "plongging" bola S2. Namun seorang matematikawan memberi dirinya semua hak. Baginya, bola adalah objek "mayat" di mana penembusan antar permukaan menjadi mungkin. Gambar-gambar berikut menunjukkan bola yang telah "menembus dirinya sendiri". Kita menyebut representasi seperti ini sebagai "immersi".
Suatu immersi memiliki himpunan interseksi diri atau self-intersection (di sini berupa kurva melingkar sederhana). Bidang singgung harus berubah secara kontinu. Namun, ketika melihat gambar-gambar di atas, kita melihat bahwa operasi tersebut berhasil membalikkan sebagian (yang digambarkan dengan warna hijau) bagian dalam bola ke luar. Untuk menyelesaikan pembalikan ini, kita harus menghancurkan bentuk seperti "bundaran ekuatorial". Hal ini tampaknya sulit secara awal. Penghancuran ini akan mengganggu kelangsungan bidang singgung. Oleh karena itu, operasi ini mencakup tahap yang bukan merupakan immersi.
Suatu hari, seorang matematikawan Amerika, Stephen Smale, membuktikan bahwa "Bola S2 hanya memiliki satu kelas immersi". Implikasi dari pernyataan misterius ini adalah bahwa kita dapat menghubungkan rangkaian immersi bola yang memungkinkan perpindahan dari "bola standar" ke representasi "antipodal"nya, yaitu semua titiknya diganti dengan titik antipodanya. Singkatnya... bola yang telah dibalik, muka depan menjadi belakang. Raoul Bott adalah pembimbing Smale. Sementara bukti Smale yang murni formal tampak tak terbantahkan, tidak ada yang tahu bagaimana melakukannya secara nyata. Bott terus-menerus berkata kepada Smale, "Tunjukkan bagaimana Anda membayangkan melakukannya", dan Smale, dengan rambutnya yang terkenal, menjawab, "Saya tidak tahu sama sekali." Smale kemudian memperoleh medali Field, setara dengan Nobel, untuk matematika. Di sela-sela itu, Anda mungkin bertanya-tanya mengapa Nobel tidak pernah ingin menciptakan hadiah Nobel untuk matematika. Jawabannya sederhana: istrinya pergi bersama seorang matematikawan.
Hal ini tetap berlangsung selama bertahun-tahun hingga seorang matematikawan Amerika bernama Anthony Phillips menerbitkan versi pertama pembalikan ini dalam Scientific American pada tahun 1967, yang sangat rumit. Versi kedua diciptakan pada awal tahun 1970 oleh matematikawan Prancis (buta) Bernard Morin. Saya adalah orang pertama yang menggambar rangkaian transformasi ini, yang—seperti sudah saya katakan—akan menjadi objek dari makalah berikutnya di situs ini, yang cukup panjang. Yang penting, hal ini membawa kita pada kesimpulan tambahan. Permukaan dapat direpresentasikan dalam bentuk polihedron. Kubus atau tetrahedron dapat dianggap sebagai representasi polihedron dari bola, karena objek-objek ini memiliki topologi yang sama. Untuk hal ini, silakan lihat komik saya, Le Topologicon. Selain itu, kita memahami bahwa jika membalikkan bola mungkin, maka membalikkan kubus juga mungkin. Transformasi yang diciptakan oleh Bernard Morin (yang saya ilustrasikan dalam artikel Januari 1979 dari Pour la science) melewati model pusat. Ada simetri dalam urutan ini. Ini disebut "model pusat dengan empat telinga". Saya memang sudah mengantisipasinya. Namun, seperti bola dapat direpresentasikan dalam bentuk polihedron, demikian juga langkah-langkah transformasi berikutnya. Benda yang Anda lihat berputar di halaman utama saya adalah versi polihedron dari model pusat pembalikan bola, model yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun lalu. Keunggulan model polihedron ini adalah bahwa mereka dapat dibuat dari permukaan datar. Bahkan, mereka dapat disusun melalui pemotongan. Lihat gambar berikut (saya mengucapkan terima kasih kepada teman saya Christophe Tardy, yang telah membuat elemen-elemen ini dengan ukuran yang tepat).
Ini adalah gambar yang akan dicetak dalam ukuran kecil, tidak praktis untuk digunakan.
Untuk mencetak gambar ini di kertas A4 Anda harus mencetak empat salinan menggunakan kertas A4 tebal, dua lembar berwarna satu, dua lembar berwarna lainnya.
Ini adalah pemotongan yang secara umum dapat Anda lihat. Namun, untuk mencetaknya, lebih baik Anda pergi ke halaman pemotongan. Cetak halaman itu. Kemudian, dengan menggunakan salinan yang dicetak pada kertas biasa dari printer Anda, pergi ke tempat fotokopi dan buat empat salinan identik dari gambar ini, dua di antaranya pada kertas bristol hijau dan dua lainnya pada kertas kuning. Dengan pemotongan ini, Anda akan mampu membangun model pusat pembalikan kubus.
Pada elemen-elemen yang dipotong ini, terdapat pasangan huruf: a, b, c, d, e, f, dll. Anda cukup melakukan lipatan dengan menempatkan huruf yang sama berimpit, lalu menghubungkan bidang-bidang ini dengan pita perekat transparan. Gambar-gambar berikut menunjukkan cara merakit salah satu dari empat elemen. Berikut ini cara memulai lipatan salah satu dari empat elemen:
Berikut ini dua dari empat elemen ini, dilihat dari sudut yang berbeda.
Elemen-elemen ini kemudian disusun menjadi objek dengan simetri orde empat, bergantian antara elemen hijau dan elemen kuning. Untuk melihatnya dalam 3D, silakan lihat hasil karya Tardy dalam "realitas maya". Model pusat yang telah sepenuhnya dirakit juga tersedia dalam format "vrml" di bagian ini. Berikut ini objek tersebut dilihat dari berbagai sudut:
Tidak dapat dikatakan bahwa satu tampilan adalah "atas" dan lainnya adalah "bawah", karena istilah-istilah tersebut sepenuhnya bersifat sembarang. Pada tampilan kiri, titik "pusat" sesuai dengan "titik ganda" (di mana dua permukaan berpotongan) dari model pusat Morin, sedangkan titik pusat kanan setara dengan "titik empat" dari model yang sama (di mana empat permukaan berpotongan). Saya dengan hati-hati mengarahkan objek ini agar gambar kiri tidak menyerupai salib gamma. Jika tidak, secara arsitektural, representasi polihedron dari model pusat Morin ini bisa menjadi proyek rumah budaya Nasional Sosialis yang sangat baik.
Tampilan terakhir:
Catatan terakhir: tidak ada representasi polihedron yang "baik" dari pembalikan bola (alias pembalikan kubus). Dengan "baik" dimaksudkan rangkaian model yang cukup jelas dan dapat dirakit melalui pemotongan yang relatif mudah, seperti model di atas. Penelitian semacam ini perlu dilakukan, yang bisa dilakukan siapa saja, bahkan bukan matematikawan atau seniman patung, misalnya. Lebih dari dua puluh tahun lalu saya pernah menjadi pengajar seni patung di École des Beaux-Arts di Aix-en-Provence, ketika sekolah itu masih dipimpin oleh teman baik saya Jacques Boullier. Di tempat inilah representasi pertama permukaan Boy dalam bentuk meridian menggunakan elips lahir, yang menjadi kunci pembuatan persamaan implisit pertama oleh Apéry. Saya harus mengakui bahwa pada masa itu saya selalu terkejut oleh imajinasi geometris para mahasiswa seni, yang sering kali melampaui imajinasi... para ahli geometri.
Penghitung diinisialisasi pada 31 Desember 2001. Jumlah koneksi :
Ruang Realitas Maya Kembali ke Berita Terbaru
Gambar
