Model pusat (berbentuk poliedra) dari pembalikan kubus
Model Pusat dari Pembalikan Kubus
31 Desember 2001
Anda semua telah melihat benda aneh berputar tanpa henti di bagian kiri halaman utama situs ini. Apa sebenarnya benda itu?
Suatu hari, ketika saya punya waktu, saya akan memasang di situs ini penjelasan tentang pembalikan bola, seperti yang pernah saya ilustrasikan dalam edisi Januari 1979 dari Pour la science, yaitu sekitar... 22 tahun yang lalu. Semua ini tentu membutuhkan banyak detail dan pengantar. Apa artinya membalikkan bola? Bola memiliki makna yang berbeda bagi orang awam dan matematikawan-geometri. Bagi orang awam, bola didefinisikan sebagai tempat semua titik yang berjarak R dari suatu titik tetap O dalam ruang tiga dimensi. Seorang ahli geometri akan tetap menyebut "bola" objek yang setara dengan "bola yang terdistorsi", seperti bentuk kentang. Untuk memahami semua konsep ini secara lebih tepat, dapatkan CD Lanturlu yang berisi komik "Le Topologicon". Namun, matematikawan melangkah lebih jauh. Ketika suatu permukaan dikatakan "halus", maka di setiap titiknya dapat didefinisikan bidang singgung. Hal ini memungkinkan kita mempertimbangkan tak hingga banyaknya distorsi dari "bola awal" menjadi tak hingga banyaknya bentuk kentang, terlebih jika luas permukaan tersebut dapat berubah-ubah. Namun, dalam "alam fisik", orang yang mendistorsi bola ini akan menghadapi keterbatasan untuk membuat bola itu menembus dirinya sendiri. Jika penembusan atau bahkan kontak antar bagian dilarang, maka kita menyebutnya sebagai "plonggaman" bola S2. Namun seorang matematikawan memberi dirinya semua kebebasan. Baginya, bola adalah objek "virtual" di mana penembusan antar permukaan menjadi mungkin. Urutan gambar berikut menunjukkan bola yang telah "menembus dirinya sendiri". Kita menyebut representasi bola seperti ini sebagai "imergensi".
Sebuah imersi memiliki himpunan titik potong diri atau self-intersection (di sini berupa kurva melingkar sederhana). Bidang singgung harus berubah secara kontinu. Namun, ketika melihat gambar-gambar di atas, kita melihat bahwa operasi tersebut berhasil membalik sebagian (yang digambarkan dengan warna hijau) bagian dalam bola ke luar. Untuk menyelesaikan pembalikan ini, kita harus meratakan bentuk seperti "bundaran ekuator" ini. Hal ini tampaknya sulit secara awal. Perataan ini akan mengganggu kelangsungan bidang singgung. Oleh karena itu, operasi ini mencakup tahap yang bukan merupakan imersi.
Suatu hari, seorang matematikawan Amerika, Stephen Smale, membuktikan bahwa "Bola S2 hanya memiliki satu kelas imersi". Implikasi dari pernyataan misterius ini adalah bahwa kita dapat menghubungkan rangkaian imersi bola yang memungkinkan perpindahan dari "bola standar" ke representasi "antipodal" nya, yaitu semua titik digantikan oleh titik antipodanya. Singkatnya... bola yang telah dibalik, muka depan menjadi belakang. Raoul Bott adalah pembimbing Smale. Sebaliknya, meskipun pembuktian Smale yang murni formal tampak tak terbantahkan, tidak ada yang tahu bagaimana melakukannya secara nyata. Bott terus-menerus berkata kepada Smale, "Tunjukkan bagaimana Anda membayangkan melakukannya", dan Smale, dengan rambutnya yang terkenal, menjawab, "Saya tidak tahu sama sekali." Smale kemudian menerima medali Field, setara dengan Nobel, untuk matematika. Di sela-sela itu, Anda mungkin bertanya-tanya mengapa Nobel tidak pernah ingin menciptakan hadiah Nobel untuk matematika. Jawabannya sederhana: istrinya pergi bersama seorang matematikawan.
Hal ini tetap berlangsung selama bertahun-tahun hingga seorang matematikawan Amerika bernama Anthony Phillips menerbitkan versi pertama pembalikan ini dalam Scientific American pada tahun 1967, yang sangat rumit. Versi kedua ditemukan pada awal tahun 1970 oleh matematikawan Prancis (buta) Bernard Morin. Saya adalah orang pertama yang menggambar urutan transformasi ini, yang—seperti sudah saya katakan—akan menjadi objek dari makalah berikutnya di situs ini, yang cukup panjang. Namun, hal ini membawa kita pada kesimpulan tambahan. Permukaan dapat direpresentasikan dalam bentuk poliedra. Kubus atau tetrahedron dapat dianggap sebagai representasi poliedra dari bola, selama objek-objek ini memiliki topologi yang sama. Untuk hal ini, silakan merujuk komik saya, Le Topologicon. Selain itu, kita memahami bahwa jika membalikkan bola mungkin, maka membalikkan kubus juga mungkin. Transformasi yang diciptakan oleh Bernard Morin (yang saya ilustrasikan dalam artikel Januari 1979 Pour la science) melewati model pusat. Ada simetri dalam urutan ini. Ini disebut "model pusat empat telinga". Sekali lagi, saya mengantisipasi. Namun, seperti bola dapat direpresentasikan dalam bentuk poliedra, demikian juga langkah-langkah transformasi berikutnya. Benda yang Anda lihat berputar di halaman utama saya adalah versi poliedra dari model pusat pembalikan bola, model yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun yang lalu. Keunggulan model poliedra ini adalah bahwa mereka dapat dibuat dari permukaan datar. Bahkan, mereka dapat disusun berdasarkan pemotongan. Lihatlah gambar berikut (saya mengucapkan terima kasih kepada teman saya Christophe Tardy, yang telah membuat elemen-elemen ini dengan ukuran yang tepat).
Ini adalah gambar yang akan dicetak dalam ukuran kecil pada printer Anda, tidak dapat digunakan.
Untuk mencetak gambar ini pada kertas A4 Anda perlu membuat empat salinan dengan kertas A4 tebal, dua lembar berwarna satu, dua lembar berwarna lainnya.
Ini adalah pemotongan yang secara umum tampak seperti ini. Namun, untuk mencetaknya lebih baik Anda pergi ke halaman pemotongan. Cetak halaman tersebut. Lalu, dengan menggunakan salinan yang dicetak pada kertas biasa dari printer Anda, pergi ke mesin fotokopi dan buat empat salinan identik dari gambar ini, dua di antaranya pada kertas bristol hijau dan dua lainnya pada kertas kuning. Dengan pemotongan ini, Anda akan mampu membangun model pusat pembalikan kubus.
Di elemen-elemen yang dipotong, Anda akan melihat pasangan huruf: a, b, c, d, e, f, dll. Anda cukup melakukan lipatan dengan mengarahkan huruf yang sama bertumpuk, lalu menghubungkan bidang-bidang ini dengan pita perekat transparan. Gambar-gambar berikut menunjukkan cara merakit salah satu dari empat elemen. Berikut ini adalah cara memulai lipatan salah satu dari empat elemen:
Berikut ini dua dari empat elemen tersebut, dilihat dari sudut yang berbeda.
Elemen-elemen ini kemudian disusun untuk membentuk objek dengan simetri orde empat, bergantian antara elemen hijau dan elemen kuning. Untuk melihatnya dalam 3D, silakan lihat hasil karya Tardy dalam "realitas maya". Model pusat yang sepenuhnya dirakit juga tersedia dalam format "vrml" di bagian ini. Berikut ini objek tersebut dilihat dari berbagai sudut:
Tidak bisa dikatakan satu tampilan adalah "atas" dan yang lainnya adalah "bawah", karena istilah-istilah tersebut benar-benar sembarang. Pada tampilan kiri, titik "pusat" mewakili "titik ganda" (di mana dua permukaan berpotongan) dari model pusat Morin, sementara titik pusat kanan setara dengan "titik empat" dari model yang sama (di mana empat permukaan berpotongan). Saya dengan hati-hati mengarahkan objek agar gambar kiri tidak menyerupai silang gamma. Jika tidak, secara arsitektural, representasi poliedra dari model pusat Morin ini bisa menjadi proyek rumah budaya sosialis nasional yang sangat bagus.
Tampilan terakhir:
Catatan terakhir: tidak ada representasi poliedra yang baik dari pembalikan bola (alias pembalikan kubus). Dengan "baik" dimaksudkan rangkaian model yang cukup jelas dan dapat dirakit melalui pemotongan dengan cara yang relatif mudah, seperti model di atas. Penelitian semacam ini dapat dilakukan siapa saja, bahkan non-matematikawan atau seniman, misalnya. Lebih dari dua puluh tahun yang lalu saya pernah menjadi pengajar seni patung di École des Beaux-Arts di Aix-en-Provence, saat sekolah itu masih dipimpin oleh teman baik saya, Jacques Boullier. Di tempat inilah lahir representasi permukaan Boy dalam bentuk meridian menggunakan elips, kunci dari penemuan persamaan implisit pertama oleh Apéry. Saya harus mengakui bahwa pada waktu itu saya selalu terkejut oleh imajinasi geometris para mahasiswa seni, yang sering kali melampaui imajinasi... para ahli geometri.
Penghitung diinisialisasi pada 31 Desember 2001. Jumlah koneksi:
Realitas Maya Kembali ke Berita Terbaru
Gambar
