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Matrici ortogonali. Gruppi ortogonali.
Consideriamo una matrice quadrata a. La matrice trasposta corrisponde allo scambio dei termini simmetrici rispetto alla diagonale, come indicato nella figura:
(38)
Indichiamo la matrice inversa con a⁻¹.
Essa soddisfa la relazione:
a × a⁻¹ = 1
Da questo momento in poi non scriveremo più il segno × e scriveremo semplicemente: a a⁻¹ = 1. Quando due lettere in grassetto sono poste una accanto all'altra, consideriamo che rappresentino automaticamente il prodotto di due matrici.
Una matrice ortogonale è una matrice il cui inverso coincide con la sua trasposta.
(38b)
Si può dimostrare che:
(38c)
da cui il determinante di una matrice ortogonale è ± 1.
Esse sono matrici ortogonali di ogni ordine (n,n). Formano dei gruppi
O(n) O(n) è l'insieme delle matrici ortogonali (n,n).
Consideriamo le matrici:
(39)
Sono matrici ortogonali, il cui determinante è:
det ( g) = +1
È un sottogruppo del gruppo ortogonale O(2), chiamato "gruppo ortogonale speciale" SO(2).
Abbiamo un gruppo ortogonale O(3), composto da matrici ortogonali (3,3), il cui determinante = ± 1. Possiede un sottogruppo SO(3) formato da matrici ortogonali il cui determinante è +1.
In quattro dimensioni: abbiamo il gruppo ortogonale O(4) e il suo sottogruppo: il gruppo ortogonale speciale SO(4).
n dimensioni: gruppo ortogonale O(n), composto da matrici ortogonali (n,n), il cui determinante è ± 1. Possiede un sottogruppo chiamato ortogonale speciale SO(n), limitato alle matrici ortogonali il cui determinante è +1.
Si può dimostrare che la dimensione di un gruppo ortogonale è (40)
Applicazione allo spazio a due dimensioni: la dimensione del gruppo è 1.
Applicazione allo spazio a tre dimensioni, la dimensione del gruppo è tre (gli angoli di Eulero).
Applicazione allo spazio a quattro dimensioni, la dimensione diventa sei.
Abbiamo introdotto il gruppo speciale euclideo orientato SE(2):
(41)
Che combina rotazioni e traslazioni.
Indichiamo:
(42)
Allora possiamo scrivere la matrice e la sua azione sullo spazio:
(43)
Osservazione:
(44)
Nel nostro spazio piano a due dimensioni, nel nostro piano, troviamo oggetti come:
(45)
Considerando questi oggetti particolari:
(46)
essi appartengono alla stessa specie. Se prendo una qualunque coppia di questi oggetti, posso trovare un elemento del gruppo che trasporta il primo sul secondo, e viceversa.
Il secondo sottoinsieme di oggetti:
(47)
appartiene a un'altra specie.
Anche il terzo:
(48)
Ma:
(49)
Non posso trovare alcuna combinazione di rotazione più traslazione c che permetta di passare da uno all'altro.
Possiamo modificare il gruppo euclideo orientato in modo da renderlo possibile?
Index Teoria dei gruppi dinamici
Versione originale (inglese)
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Orthogonal matrixes. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?