a4105
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Simmetrie.
(49b)
Cosa significa?
Consideriamo un gruppo composto da quattro elementi (un "gruppo discreto").
(50)
che posso scrivere:
(51)
L'azione corrispondente è:
(52)
È chiaro che può invertire la coordinata x, la coordinata y, o entrambe.
In modo schematizzato:
(53)
(54)
(55)
(56)
Possiamo ora costruire la matrice:
(57)
Possiamo verificare che questo insieme di matrici forma un gruppo.
Il loro determinante è:
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Verifichiamo che la matrice inversa è:
(59)
(60)
(61) Così:
(62)
da cui:
(63)
...SO(2) (chiamato gruppo ortogonale speciale) è un sottogruppo di O(2) (chiamato gruppo ortogonale) e possiamo formare le matrici **a **dalle matrici **a **attraverso:
(64)
Per inciso, molte di queste matrici sono ridondanti. Ad esempio, se
(64b)
(65)
il che significa che cambiare ( x ---> - ; y ---> -y ) è equivalente a una rotazione di p. Vedi la figura seguente.
(66)
Sappiamo che le matrici:
(67)
corrispondono a una semplice rotazione intorno all'origine delle coordinate O.
Qual è il significato delle matrici più generali:
(68)
Dalla:
(69)
sappiamo che a corrisponde a due operazioni combinate:
- Una simmetria rispetto all'asse OX, o OY, o entrambi.
- Una rotazione a intorno all'origine delle coordinate.
(70)
Nella figura è indicata la successione delle due operazioni
( M1 ----> M4 )
È chiaro che è equivalente a una simmetria rispetto a una retta passante per O
(71)
...Abbiamo arricchito il "gruppo ortogonale speciale" SO(2) che era originariamente il "gruppo ortogonale" O(2). Così abbiamo scoperto che questo gruppo esteso contiene simmetrie speculari: tutte le simmetrie rispetto a rette passanti per l'origine delle coordinate O.
(72)
Indice Teoria dei gruppi dinamici
Versione originale (inglese)
a4105
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Symmetries.
(49b)
What does it mean ?
Consider a group composed by four elements ( a "discrete group" ).
(50)
that I can write :
(51)
The corresponding action is :
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically :
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix :
(57)
We can check such set of matrixes form a group.
Their determinant is :
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Check the inverse matrix is :
(59)
(60)
(61) So that :
(62)
whence :
(63)
...SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrixes **a **from the matrixes a through :
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing ( x ---> - ; y ---> -y ) is equivalent to a rotation of p . See next figure.
(66)
We know that matrixes :
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrixes :
(68)
From :
(69)
we know that a corresponds to two combined operations :
- A symmetry with respect to axis OX , or OY , or both.
- A rotation a around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
( M1 ----> M4 )
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
...We have enriched the "special orthogonal group " SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discovers that this extended group contains mirror-symmetries : all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)