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Componenti di un gruppo.
Abbiamo considerato due gruppi: SO(2) e O(2). Il secondo contiene il primo.
Il primo contiene l'elemento neutro. Possiamo rappresentare gli elementi del gruppo come segue:
(73) .
Gli elementi della prima componente formano un gruppo (un sottogruppo).
Gli elementi della seconda componente non formano un gruppo, per molte ragioni:
- Non contiene l'elemento neutro 1.
- Possiamo scegliere due matrici in questa seconda componente il cui prodotto non appartiene a questa seconda componente. Esempio:
(74)
La componente del gruppo che contiene l'elemento neutro 1 è detta
componente neutra del gruppo.
Nel seguito considereremo gruppi con 2, 4, 8 componenti.
Il gruppo di Euclide.
Possiamo ora integrare questo gruppo esteso, arricchito, con la traslazione in 2D, ottenendo:
(75)
e l'azione corrispondente di questo gruppo di Euclide:
(76)
Supponiamo di utilizzare il nostro gruppo per manipolare, governare, studiare lettere dell'alfabeto.
Limitiamo l'insieme alle lettere: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Abbiamo diverse dimensioni:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Sappiamo che non è possibile trovare alcun elemento del gruppo, né un'azione successiva del gruppo, che possa trasformare:
G in G
poiché le loro dimensioni sono diverse. Decidiamo di chiamare le loro dimensioni massa, in modo che G e G siano simili a particelle, oggetti, atomi, dotati di masse differenti. Ora, dipende dal gruppo che agisce su questo insieme di oggetti. Se utilizzo:
(78)
supponiamo che questo "universo" sia riempito da:
(79)
con uno spettro determinato di dimensioni (masse) e angoli. Se applico azioni del gruppo, qualsiasi esse siano, non troverò mai oggetti appartenenti all'alfabeto russo:
(80)
Sarà possibile solo se utilizzo il gruppo arricchito, il gruppo di Euclide:
(80b)
Allora il mio "universo" diventerà:
(81)
Il gruppo ha arricchito il "zoo" delle lettere. Ma nel mio zoo, un elemento è invariante per simmetria, cioè:
(82)
(83)
(84)
(85)
...In generale, ogni simmetria rispetto a una retta del piano, che è uno "specchio 2D", non cambia la "natura" di questo carattere
(86)
Chiamerò questo carattere un "fotone" e assimilerò la trasformazione
(87)
alla dualità materia-antimateria. Allora ottengo un zoo globale:
(88)
Potremmo collegare lettere della stessa forma (natura) ma di dimensioni diverse (che rappresentano le loro energie), utilizzando il gruppo di Cartesio:
(89)
...Ma non costruiremo un modello analogico completo delle particelle elementari basato su caratteri alfabetici. Comunque, iniziate a capire dove stiamo andando. I gruppi hanno aspetti molto semplici, ma proprietà nascoste. Queste proprietà dipendono dai loro sottogruppi, che generano le specie.
...Il gruppo di Euclide va di pari passo con un mondo euclideo, con uno zoo euclideo. Gli animali della geometria euclidea si chiamano sfera, cilindro, prismi, piano, retta, triangoli, ecc. Sono invarianti sotto l'azione di certi sottogruppi. Souriau chiama il sottogruppo legato a un oggetto appartenente a una specie, la regolarità di quell'oggetto.
Per esempio, le sfere centrate in un punto dato O sono invarianti rispetto all'azione del sottogruppo delle rotazioni attorno a quel punto.
-
Possiamo considerare che il fatto di essere invariante sia una proprietà della specie chiamata "sfere centrate in un punto O".
-
Inversamente, possiamo considerare che questa proprietà definisca la specie.
Index Teoria dei gruppi dinamici
Versione originale (inglese)
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Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
-
Conversely we can consider that this property *defines *the species.