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Cerchiamo di classificare. La classificazione si basa sulla definizione di specie.
Due oggetti appartenenti alla stessa specie hanno una proprietà in comune.
- Prendi una sfera, una sfera particolare.
- Osserva il sottogruppo del grande gruppo (gruppo euclideo) che lascia invariata questa sfera. Souriau chiama tale sottogruppo la regolarità di una sfera.
- Cerca tutti gli oggetti invarianti rispetto all'azione di questo sottogruppo. Trovi tutte le sfere centrate in un punto dato, compresa la sfera di raggio zero: il punto.
Il punto appartiene quindi alla specie delle « sfere centrate nell'origine ».
Al contrario:
- Prendi un punto nello spazio a tre dimensioni.
- Osserva il sottogruppo del gruppo euclideo che lascia invariato questo punto. Trovi il gruppo ortogonale O(3).
- Cerca quindi tutti gli oggetti invarianti rispetto all'azione degli elementi di questo sottogruppo, sotto rotazione intorno a quel punto. Trovi tutte le sfere centrate su quel punto e concludi che quel punto e tutte queste sfere appartengono alla stessa specie.
Oggetti come una retta, un piano, un cilindro, ecc., possono essere « costruiti » come una specie legata a un certo sottogruppo particolare.
...In fisica vogliamo classificare le particelle elementari. Ma non puoi prendere una particella tra pollice e indice e osservarla con una lente di ingrandimento. Puoi osservare solo il suo comportamento, il suo movimento.
Dimmi come ti muovi, ti dirò chi sei.
...Ho un vecchio amico, Jean-Louis Philoche, che è un ottimo giocatore di scacchi. Può giocare a memoria (in francese « giocare a memoria », senza vedere la scacchiera). Ti basta indicargli il movimento di una pedina:
b1-c3
Per chi non gioca:
(90) Movimento del cavallo
...Jean-Louis è in grado di memorizzare tutto ciò nella sua testa. Non so come ci riesca, ma funziona. Ciò dimostra che le pedine degli scacchi non sono necessarie per giocare (un computer non ne ha bisogno).
...Immagina di essere in una stanza e di sentire due vicini che giocano a « un qualche gioco ». Non li vedi, ma senti quando annunciano i loro mosse.
b2-b3 b7-b5 e così via...
...Pensi: si muovono qualcosa. Che gioco è? Prendi una scacchiera, disponi piccole pietre sopra e annota le loro mosse successive su un foglio. Chiamiamo C l'indice di colonna e L l'indice di riga. Una mossa corrisponde a:
( DC , DL )
Se |DC| ≤ 1 e |DL| ≤ 1: si tratta di un movimento del re.
Se |DC| = |DL|: si tratta di un movimento dell'alfiere (lungo una diagonale).
Se |DC| × |DL| = 0: si tratta di un movimento della torre.
Se |DC × DL| = 3: si tratta di un movimento del cavallo.
Se DL è strettamente positivo: si tratta di un pedone bianco. Se DL è strettamente negativo: si tratta di un pedone nero.
E così via. Costruiamo una classificazione di « oggetti » basata sul loro comportamento.
Un'altra immagine. Hai una scatola con dadi mescolati. Vuoi classificarli. Cosa ti serve? Diverse madreviti.
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- Prendi un dado.
- Cerca la madrevita che gli corrisponde.
- Seleziona tutti i dadi che si adattano a questa madrevita. Ottieni una specie di dadi.
**Gruppo ortogonale **O(3).
...Possiamo estendere quanto detto sopra nel contesto 2D al contesto 3D. Sappiamo come effettuare una rotazione nello spazio 3D, rispetto a un punto fisso, origine delle coordinate. Dipende da tre angoli a, b, g, chiamati angoli di Eulero. Non scriveremo una tale matrice, la indicheremo semplicemente:
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det (a) = +1
Si tratta di una matrice ortogonale:
(92b)
...Il gruppo ortogonale O(3) è composto da tutte le matrici ortogonali, incluse quelle il cui determinante è uguale a -1. Chiamiamo tali matrici (93)
Come nella sezione precedente, possiamo ottenere tutte le matrici ortogonali da SO(3) tramite:
(94)
L essendo la matrice diagonale:
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Tutto ciò è ridondante. Ma fa emergere immediatamente le simmetrie fondamentali.
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(98b)
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Esistono « matrici specchio » che invertono l'orientamento degli oggetti, trasformandoli nella loro immagine in uno specchio:
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Fornisci un esempio di oggetto orientato il cui orientamento viene invertito da questa simmetria specchio:
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...Si tratta della superficie inventata da Werner Boy, studente di Hilbert. Un'attenzione particolare sarà dedicata a questo oggetto interessante nella sezione del sito dedicata alla matematica. Abbiamo rimosso una parte della superficie per mostrare il punto triplo T.
...Puoi chiamare uno di questi oggetti « destro » o « sinistro ». Nessuno ha mai indicato quale fosse il movimento di rotazione « destro » della superficie di Boy. Comunque: perché far ruotare una superficie di Boy? Alcuni affermano che possa volare, ma io sono scettico.
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(103)
(104)
...Come in geometria 2D (simmetria rispetto all'origine), la simmetria rispetto all'asse x è equivalente a una rotazione di π. Infine:
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che cambia l'orientamento degli oggetti.