a4109
| 9 |
|---|
Sulle componenti del gruppo.
O(2) è un gruppo composto da due componenti:
- La sua componente neutra (un sottogruppo SO(2) che contiene l'elemento neutro 1).
- Il resto degli elementi.
Se si forma un gruppo euclideo a 2 dimensioni a partire da O(2):
(112)
questo gruppo ha due componenti. La sua componente neutra è costituita dagli elementi di SO(2).
(113)
...Lo chiamiamo gruppo euclideo speciale: con questo gruppo non è possibile invertire l'orientamento di una "lettera", come R. Il gruppo euclideo a due componenti è chiamato gruppo completo.
...Rispetto al gruppo speciale, sottogruppo del gruppo euclideo completo:
(114)
appartengono a due specie distinte, poiché non è possibile trovare un elemento gEO di questo gruppo GSE (o SE(2)) che possa trasformare la prima lettera nella seconda, e viceversa.
...Rispetto al gruppo completo, queste due lettere appartengono alla stessa specie, poiché esiste un elemento gE del gruppo GE (simmetria, appartenente alla seconda componente) che può trasformare una di queste due lettere nell'altra.
Allo stesso modo, il gruppo euclideo a 3 dimensioni (il gruppo euclideo completo):
(115)
ha due componenti. La prima, la componente neutra, è un sottogruppo formato dagli elementi di SO(3):
(116)
...Lo chiamiamo questa componente neutra il gruppo euclideo speciale SE(2). Rispetto a questo gruppo, una mano destra e una mano sinistra appartengono a specie distinte, poiché non esiste alcun elemento gSE del gruppo GSE che possa trasformare una mano sinistra in una mano destra, e viceversa.
Rispetto al gruppo completo, appartengono alla stessa specie.
Una breve osservazione:
Quando un uomo guarda la sua immagine in uno specchio, vede che la sua mano sinistra e la sua mano destra sono scambiate. Ma perché la sua testa e i suoi piedi non sono anch'essi scambiati?
La risposta è data dal matematico francese J.M. Souriau:
(116b)
Un'ulteriore osservazione, più tecnica. Dal gruppo euclideo orientato è possibile costruire il gruppo euclideo completo, utilizzando uno scalare l = ± 1
(116c)
gli elementi per cui l = -1 appartengono alla seconda componente e "invertono lo spazio", trasformando gli oggetti nelle loro immagini enantiomorfe.
Estensione al gruppo PT a 4 dimensioni.
Partiamo dal gruppo ortogonale speciale:
(118)
poi costruiamo il gruppo PT utilizzando matrici (4,4):
(119)
Si tratta di un gruppo a quattro componenti (l = ± 1 ; m = ± 1).
Questo gruppo agisce sullo spazio-tempo con l'azione seguente:
(120)
Notiamo che potremmo scriverlo:
(121)
Ma non cambia nulla, poiché l'azione fondamentale non è modificata.
Tra queste quattro componenti, abbiamo la componente neutra, il gruppo orientato nello spazio e nel tempo.
(122)
Abbiamo:
(123)
Notiamo che:
(124)
gSOTO è anche una matrice ortogonale. Le matrici ortogonali sono definite da questa proprietà assiomatica.
...Notiamo che faremo ampio uso delle proprietà assiomatiche delle matrici particolari, molto più delle matrici stesse. Con il gruppo SO(2) abbiamo scritto esplicitamente le matrici. Ma per SO(3) e O(3), non lo faremo, poiché non sarebbe né necessario né utile, e renderebbe i calcoli inutilmente complessi. È molto più efficiente ed elegante utilizzare le proprietà assiomatiche delle matrici del gruppo.
Anticipando, consideriamo le matrici definite da:
(125)
dove:
(126)
In forma di matrice diagonale:
(127)
Inoltre:
(128)
Dimostrate che queste matrici formano un gruppo.
Considerate:
(129)
e formate:
(130)
Il prodotto di queste matrici di Lorentz generalizzate obbedisce all'assioma.
Dimostrate che la matrice inversa appartiene al gruppo:
(131)
Calcolate la matrice inversa.
(132) (132b)
corrisponde al caso particolare:
(132c)
...La forma di questa matrice corrisponde alla metrica dello spazio-tempo (come vedremo nuovamente, con le matrici di Lorentz, in seguito, affrontando il mondo relativistico).
(133)
essendo un vettore spazio-temporale
Il legame corrisponde alla forma quadratica elementare:
(134)
con:
(134b)
questo dà:
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct essendo una "variabile cronologica".
Questo corrisponde a uno spazio-tempo euclideo, dove la velocità:
(136)
è illimitata.
Index Teoria dei gruppi dinamici
