azioni di gruppo e momento coadiuvante della fisica
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Un elemento gp del gruppo di Poincaré Gp è definito da una sequenza di parametri {pi}, il cui numero, come già detto, rappresenta la dimensione del gruppo. La matrice dg (g = e) è costituita dalle quantità {dpi}. L'applicazione sopra menzionata è quindi del tipo:
(81)
In altre parole, ad un insieme di scalari dpi si associa un numero uguale di scalari dpi'. La dualità consiste nel postulare l'invarianza di uno scalare, secondo:
(82)
dove n è la dimensione del gruppo (dieci, per il gruppo di Poincaré). Gli scalari Ji rappresentano le componenti del momento, nello stesso numero.
Decideremo di decomporre questo momento J in due oggetti. Il primo sarà una matrice M antisimmetrica di formato (4,4), quindi con sei componenti, e il secondo un "quadrivettore" P, matrice di formato (4,1):
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } Scriviamo il prodotto scalare nella forma:
(85)
dove Tr indica "traccia di", e avremo inoltre:
(86)
forma lineare la cui invarianza assicura la dualità.
con:
(87) (87b)
(87c)
ma GG = 1 quindi questo vale:
(88)
Identifichiamo i termini in y (89)
Cioè:
(90)
----> Ancora qui seguono dettagli di calcolo matriciale. Se lo desideri, cliccando qui puoi andare direttamente al risultato.
Nella traccia si può effettuare una permutazione ciclica dei termini.
(90a)
(90b)
(90c)
il secondo termine del secondo membro è uguale al prodotto di una matrice riga per una matrice colonna.
Questo è uguale alla traccia del prodotto invertito (come illustrato di seguito, schematicamente, il prodotto di una matrice riga per una matrice colonna):
(90d)
Nella traccia, posso operare una permutazione ciclica:
(90e)
Da cui:
(90f)
(90g)
Qui applicheremo nuovamente il teorema sulle tracce delle matrici che sono il prodotto di un'altra matrice per una matrice simmetrica.
Ogni matrice può essere simmetrizzata o antisimmetrizzata. Inoltre la traccia del prodotto di una matrice per una matrice simmetrica è zero.
(90h)
Posso applicare ciò alla matrice (90i) poiché si prende la traccia
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
ma:
(90l)
quindi
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
e:
(90q)
infine:
(90r)
Raggruppando e cambiando di lato le prime ottengo la mia azione di gruppo:
Immagini
