Matematica geometria trasformazione superfici

Come trasformare una superficie Cross Cap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando per la superficie romana di Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, università di Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 settembre - 25 ottobre 2003 **

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Questo, come direbbe Kipling, comporta "grande astuzia e forza magica".

Sono in pensione ma, mi sento di dirlo, faccio sempre un po' di ricerca "malgrado me", come altri, nel loro tempo libero, sferruzzano. Se avete pazienza e vi procurate dei cartoncini bristol da 200 gr. a quadretti, potrete ricostruire voi stessi tutti questi modelli. Il mio amico Christophe Tardy sta costruendo, a partire da essi, un'animazione che non dovrebbe venire male.

La superficie Cross Cap apparirà nei disegni che seguiranno, così come la superficie romana di Steiner. Ma potete scoprirle andando alla sezione Virtual Reality, per vedere la quale è necessario scaricare il programma Cosmoplayer sul vostro computer. Fatelo, è veramente carino. Tutto si gioca attorno ai "punti cuspidali". Questi punti si formano in modo naturale quando montate a cavallo e stringete forte le gambe. Il corpo del cavallo si troverà allora schiacciato lungo un segmento. La coscia destra si attaccherà lungo quel segmento alla sua spalla destra, mentre la coscia sinistra alla spalla sinistra. Quanto al punto cuspidale, non cercatelo: ci siete semplicemente seduti sopra.

Ma tutto ciò è disegnato... rotondetto. Passiamo ad una "rappresentazione poliedrica" del punto cuspidale (così come un cubo o un tetraedro possono essere considerati delle rappresentazioni poliedriche di una semplice sfera). Il tratto in grassetto rappresenta la "curva di autointersezione", che finisce nel punto cuspidale C.

Stampate queste tavole, è meglio. Nel seguito vi servirà saper riconoscere un punto cuspidale in "configurazioni differenti" e non confonderlo con un semplice vertice del poliedro. Costruite, se ve la sentite, questi diversi oggetti con del cartone, capirete meglio. Qui di seguito abbiamo un'operazione essenziale, detta "creazione-scioglimento di una coppia di punti cuspidali". Il primo disegno rappresenta una specie di cilindro che si autointerseca lungo il segmento disegnato in grassetto, la cui sezione ricorda la lettera greca gamma, rovesciata. Deformiamo quindi questa superficie "pizzicando" il tubo la cui sezione assomiglia ad una "lacrima rovesciata". Così facendo, facciamo degenerare questa "lacrima" in un punto S. Dopodiché, questo punto si sdoppia dando luogo a due punti cuspidali. Questa è l'operazione di creazione di una coppia di punti cuspidali. L'operazione opposta, al contrario, distrugge due punti cuspidali. Subito sotto trovate la versione poliedrica di tale operazione.

Qui di seguito ecco un'altra rappresentazione poliedrica della trasformazione, che assomiglia a quello che vedrete formarsi nella superficie fra poco.

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