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Gruppo delle traslazioni:
Consideriamo uno spazio 2D (x,y). In uno spazio del genere, una traslazione è definita da un vettore di traslazione (Dx, Dy). Di solito scriviamo:
(27)
x' = x + Dx
y' = y + Dy
Per ottenere i nuovi valori x' e y', utilizziamo l'addizione. Potremmo ottenere gli stessi risultati tramite una moltiplicazione?
Consideriamo le seguenti matrici:
(28)
Notiamo che sono definite da due parametri indipendenti Dx e Dy. La dimensione del gruppo è quindi 2.
Forma:
(29)
Notiamo che ciò differisce fondamentalmente dalla moltiplicazione matriciale semplice
(30)
g × r
Si tratta di un'azione particolare del gruppo.
(31)
Inoltre, possiamo considerare traslazioni in spazi a 3D o 4D. Le matrici quadrate corrispondenti, che formano gruppi, sono:
(32)
(33)
L'azione corrispondente è:
(34)
Il gruppo delle traslazioni è commutativo. Il suo elemento neutro è la traslazione nulla.
Gruppi di matrici: perché?
Con i gruppi di matrici possiamo combinare diverse operazioni in una sola, in un'unica azione. Consideriamo le seguenti matrici e l'azione seguente:
(35-1)
Combiniamo due cose: una rotazione (di angolo a), più una traslazione (Dx, Dy).
L'elemento g del gruppo G agisce sullo spazio r = (x,y), non "direttamente", ma attraverso un'azione più raffinata.
Questo gruppo
(35-2)
chiamato "gruppo euclideo speciale SE(2)", agisce sullo spazio 2D. Questo nome sarà spiegato in seguito.
Qual è la sua dimensione? Dipende da tre parametri liberi: (a, Dx, Dy), quindi la sua dimensione è tre. Possiamo scrivere:
g ∈ SE(a, Dx, Dy)
Sottogruppi.
Per noi, un gruppo è un insieme di matrici quadrate. Tra questo insieme possiamo trovare sottoinsiemi.
g ∈ SE(0, Dx, Dy) è il sottogruppo delle traslazioni.
g ∈ SE(a, 0, 0) è il sottogruppo delle rotazioni intorno all'origine 0.
g ∈ SE(0, Dx, 0) è il sottogruppo delle traslazioni parallele all'asse OX.
Il gruppo sopra descritto trasporta punti. Questi punti non possiedono caratteristiche particolari. Sono semplicemente... punti, nient'altro.
Ma in seguito, altri gruppi, che descrivono il mondo fisico, trasporteranno punti con caratteristiche diverse, "attributi": massa, energia, impulso, spin...
Con il gruppo sopra descritto, interessanti da trasportare sono solo insiemi di punti. Qui emerge il concetto fondamentale di:
Specie.
Il nostro primo gruppo trasporta oggetti geometrici, che sono insiemi di punti, figure geometriche ("rigide"). L'insieme più semplice è composto da due punti. Consideriamo coppie di punti in uno spazio 2D:
(35-3)
Nella figura (35-3) sono rappresentate due coppie di punti (A,B) e (A',B'). Posso trovare un elemento del gruppo che trasforma (A,B) in (A',B'): combinando una rotazione intorno al punto O e una traslazione. Vedi la figura (35-4).
(35-4)
Ora consideriamo le due coppie:
(35-5)
È impossibile trovare un elemento g (matrice quadrata) del mio gruppo G che possa trasportare (A,B) su (A",B"). Dirò che:
(A,B) e (A',B') appartengono alla stessa specie.
(A,B) e (A",B") appartengono a specie diverse.
La caratteristica di una specie di coppie di punti è detta lunghezza.
Questa è la definizione di lunghezza in termini di teoria dei gruppi.
Come potete affermare che due segmenti hanno la stessa lunghezza? Perché potete confrontarli, sovrapponendone uno all'altro.
Nel nostro gruppo, due segmenti con lunghezze diverse appartengono a specie diverse, perché il nostro gruppo non permette dilatazioni o contrazioni (trasformazioni omotetiche). Il gruppo che se ne occupa è un altro ("gruppo cartesiano speciale"):
(35-6)
Rispetto a questo gruppo, tutte le coppie di punti appartengono alla stessa specie. La dimensione di questo gruppo è quattro.
Al posto di due punti, potremmo considerare tre o quattro punti, questi ultimi ad esempio formando quadrati.
(36)
Rispetto al gruppo (35-1), i quadrati i cui lati hanno la stessa lunghezza appartengono alla stessa specie. Ma se i lati di due quadrati sono fondamentalmente diversi:
(37)
appartengono a specie diverse.
Questo gruppo, che regola le traslazioni 2D e le rotazioni intorno a un punto fisso di un piano, è il gruppo euclideo speciale: SE(2).
Possiamo facilmente immaginare un gruppo simile che agisce su uno spazio 3D. I gruppi delle traslazioni 3D e 4D sono stati dati in (32) e (33).
Possiamo facilmente immaginare un gruppo che descrive le traslazioni in uno spazio a n dimensioni. Ma cosa succede con le rotazioni?
Possiamo immaginare una rotazione nello spazio 3D. Possiamo anche scriverla utilizzando una matrice che contiene tre angoli, gli angoli di Eulero: la sua dimensione è quindi tre.
Indice Teoria dei gruppi dinamici