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Matrici ortogonali. Gruppi ortogonali.
Consideriamo una matrice quadrata
a
. La matrice trasposta corrisponde allo scambio dei termini simmetrici rispetto alla diagonale, come indicato nella figura:
(38)
Indichiamo la matrice inversa
a⁻¹
Essa soddisfa la relazione:
a × a⁻¹ = 1
Da ora in poi non scriveremo più il segno × e scriveremo semplicemente:
a a⁻¹ = 1
Quando due lettere in grassetto sono poste una accanto all'altra, consideriamo automaticamente che rappresentino il prodotto di due matrici.
Una matrice ortogonale è una matrice il cui inverso coincide con la sua trasposta.
(38b)
Si può dimostrare che:
(38c)
così che il determinante di una matrice ortogonale è ±1.
Esistono matrici ortogonali di ogni ordine (n,n). Esse formano gruppi
O(n)
O(n) è l'insieme delle matrici ortogonali (n,n).
Consideriamo le matrici:
(39)
Sono matrici ortogonali il cui determinante è:
det(g) = +1
È un sottogruppo del gruppo ortogonale O(2), chiamato «gruppo ortogonale speciale» SO(2).
Abbiamo un gruppo ortogonale O(3), composto da matrici ortogonali (3,3), il cui determinante è ±1. Esso possiede un sottogruppo SO(3) formato da matrici ortogonali il cui determinante è +1.
In quattro dimensioni: abbiamo il gruppo ortogonale O(4) e il suo sottogruppo: il gruppo ortogonale speciale SO(4).
In n dimensioni: gruppo ortogonale O(n), composto da matrici ortogonali (n,n), il cui determinante è ±1. Esso possiede un sottogruppo chiamato gruppo ortogonale speciale SO(n), limitato alle matrici ortogonali il cui determinante è +1.
Si può dimostrare che la dimensione di un gruppo ortogonale è (40)
Applicazione al piano a due dimensioni: la dimensione del gruppo è 1.
Applicazione allo spazio a tre dimensioni: la dimensione del gruppo è tre (gli angoli di Eulero).
Applicazione allo spazio a quattro dimensioni: la dimensione diventa sei.
Abbiamo introdotto il gruppo speciale euclideo orientato SE(2):
(41)
che combina rotazioni e traslazioni.
Indichiamo:
(42)
Allora possiamo scrivere la matrice e la sua azione nello spazio:
(43)
Osservazione:
(44)
Nel nostro spazio piano a due dimensioni, nel nostro piano, troviamo oggetti come:
(45)
Considerando questi oggetti particolari:
(46)
essi appartengono alla stessa specie. Se prendo una qualsiasi coppia di questi oggetti, posso trovare un elemento del gruppo che porta il primo sul secondo, e viceversa.
Il secondo sottoinsieme di oggetti:
(47)
appartiene a un'altra specie.
Anche il terzo:
(48)
Ma:
(49)
Non posso trovare alcuna combinazione di rotazione a più traslazione c che porti uno sull'altro.
Possiamo modificare il gruppo euclideo orientato in modo da renderlo possibile?
Indice Teoria dei gruppi dinamici