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Simmetrie.
(49b)
Che cosa significa?
Consideriamo un gruppo composto da quattro elementi (un "gruppo discreto").
(50)
che posso scrivere:
(51)
L'azione corrispondente è:
(52)
È chiaro che essa può invertire la coordinata x, la coordinata y, o entrambe.
Schematicamente:
(53)
(54)
(55)
(56)
Ora possiamo costruire la matrice:
(57)
Possiamo verificare che quest'insieme di matrici formi un gruppo.
Il loro determinante è:
(58)
det (
a
) = l m ( cos² a + sin² a ) = l m = ±1
Verifichiamo che la matrice inversa sia:
(59)
(60)
(61)
Così:
(62)
da cui:
(63)
SO(2) (chiamato gruppo ortogonale speciale) è un sottogruppo di O(2) (chiamato gruppo ortogonale), e possiamo formare le matrici
a
dalle matrici
a
attraverso:
(64)
A proposito, molte sono ridondanti. Ad esempio, se
(64b)
(65)
il che significa che cambiare ( x ---> -x ; y ---> -y ) è equivalente a una rotazione di
p
. Vedi la figura seguente.
(66)
Sappiamo che le matrici:
(67)
corrispondono a una semplice rotazione intorno all'origine delle coordinate O.
Qual è il significato delle matrici più generali:
(68)
Da:
(69)
sappiamo che
a
corrisponde a due operazioni combinate:
-
Una simmetria rispetto all'asse OX, oppure all'asse OY, oppure entrambi.
-
Una rotazione a intorno all'origine delle coordinate.
(70)
Nella figura è indicata la successione delle due operazioni
( M1 ----> M4 )
È chiaro che essa è equivalente a una simmetria rispetto a una retta passante per O
(71)
Abbiamo arricchito il "gruppo ortogonale speciale" SO(2) che derivava dal "gruppo ortogonale" O(2). Scopriamo così che questo gruppo esteso contiene simmetrie specchio: tutte le simmetrie rispetto a rette passanti per l'origine delle coordinate O.
(72)
Indice Teoria dei gruppi dinamici