a4103
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並進群：
2次元空間（x, y）を考える。このような空間において、並進は並進ベクトル（Dx, Dy）によって定義される。通常は次のように書く：
(27) x' = x + Dx
y' = y + Dy
新しい値 x' と y' を得るには 加算 を用いる。では、同じ結果を 乗算 で得ることは可能だろうか？
以下の行列を考える：
(28)
これらが独立なパラメータ Dx と Dy によって定義されていることに注意する。したがって、この群の次元は 2 である。
形：
(29)
これは単純な行列乗算
(30) g × r
とは本質的に異なることに注意する。
これは群の特別な作用である。
(31)
一方で、3次元や4次元空間における並進も考えられる。それに対応する正方行列からなる群は以下の通りである：
(32)
(33)
対応する作用は：
(34)
並進群は可換である。その単位元は零並進である。
行列群とはなぜ必要か？
...行列群を用いることで、複数の操作を一つの操作に統合できる。以下の行列と作用を考える：
(35-1)
...2つの要素を組み合わせている：回転（角度 a）と並進（Dx, Dy）。
群 G の要素 g は空間 r = (x, y) に対して「直接的」ではなく、より洗練された「作用」を通じて作用する。この群
(35-2)
「特殊ユークリッド群 SE(2)」と呼ばれるもので、2次元空間に作用する。この名前の意味は後述する。
その次元は何か？自由パラメータが (a, Dx, Dy) の3つあるため、次元は3である。以下のように書ける：
gSE(a, Dx, Dy)
部分群：
我々にとって、群とは正方行列の集合である。この集合の中には部分集合も存在する。
gSE(0, Dx, Dy) は並進の部分群である。gSE(a, 0, 0) は原点 0 の周りの回転の部分群である。gSE(0, Dx, 0) はOX軸に平行な並進の部分群である。
上記の群は点を移動させる。これらの点に特徴的な性質はない。単なる「点」に過ぎない。
...しかし後で、物理世界を記述する他の群は、質量、エネルギー、運動量、スピンといった「属性」を持つ点を移動させる。
上記の群では、点の集合だけが移動させることに意味がある。ここに基本的な概念である：
種（スペシーズ） が登場する。
...我々の最初の群は、点の集合である幾何学的対象、すなわち剛体図形を扱う。最も単純な集合は2点からなる。2次元空間における点のペアを考える：
(35-3)
...図 (35-3) に点のペア (A, B) と (A', B') が描かれている。点 O の周りの回転と並進を組み合わせることで、(A, B) を (A', B') に変換する群の要素を見つけることができる。図 (35-4) を参照。
(35-4)
次に以下の2つのペアを考える：
(35-5)
私の群 G の要素 g（正方行列）で、(A, B) を (A", B") に移動させることは不可能である。したがって、
(A, B) と (A', B') は同じ種に属する。
(A, B) と (A", B") は異なる種に属する。
点のペアの種の特徴は 長さ と呼ばれる。
これは群論の言葉で「長さ」を定義する方法である。
...2つの線分が同じ長さであるとどうして言えるのか？それは、一方を他方に重ねて比較できるからである。
...私たちの群では、長さが異なる2つの線分は異なる種に属する。なぜなら、この群には拡大や縮小（相似変換）を許す操作がないからである。このような操作を扱うのは別の群（「特殊デカルト群」）である：
(35-6)
この群に対しては、すべての点のペアが同じ種に属する。この群の次元は4である。
2点ではなく、3点や4点を考えることもできる。後者はたとえば正方形を形成する。
(36)
...群 (35-1) に対しては、辺の長さが等しい正方形は同じ種に属する。しかし、2つの正方形の辺が本質的に異なる場合：
(37)
それらは異なる種に属する。
2次元空間における並進と平面内の固定点周りの回転を制御するこの群は、特殊ユークリッド群 SE(2) である。
今や、3次元空間に作用する類似の群を容易に想像できる。3次元および4次元空間における並進群は (32) と (33) に示されている。
n次元空間における並進を記述する群も容易に想像できる。しかし回転はどうなるか？
...3次元空間における回転を想像できる。さらに、オイラー角という3つの角度を含む行列で表現することも可能である：したがってその次元は3である。
元の英語版
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Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.