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直交行列。直交群。
正方行列aを考える。転置行列は、対角線に対して対称な項を入れ替えるものであり、図に示されている。
(38)
行列の逆行列をa-1と表す。これは次の関係を満たす：
a × a-1 = 1
以降、記号×は省略し、単にa a-1 = 1と書く。太字の2文字が隣接しているときは、自動的に2つの行列の積を意味するものとする。
直交行列とは、その逆行列が転置行列と一致する行列である。
(38b)
次のように示すことができる：
(38c)
したがって、直交行列の行列式は±1である。
これらは任意の次数(n,n)の直交行列であり、群をなす。
O(n) O(n)は(n,n)の直交行列の集合である。
次の行列を考える：
(39)
これらは行列式が：
det (g) = +1
である直交行列である。これは直交群O(2)の部分群であり、「特殊直交群」SO(2)と呼ばれる。
O(3)という直交群があり、これは(3,3)の直交行列からなり、行列式は±1である。その部分群として、行列式が+1である直交行列からなるSO(3)がある。
4次元では、直交群O(4)とその部分群である特殊直交群SO(4)がある。
n次元では、行列式が±1である(n,n)の直交行列からなる直交群O(n)があり、その部分群として行列式が+1である直交行列からなる特殊直交群SO(n)がある。
直交群の次元は次のように示すことができる：
(40)
2次元空間への応用：群の次元は1である。
3次元空間への応用：群の次元は3（3つのオイラー角）である。
4次元空間への応用：群の次元は6になる。
私たちは向き付けられた特殊ユークリッド群SE(2)を導入した：
(41)
これは回転と並進を組み合わせたものである。
以下のように表記する：
(42)
すると、行列とその空間への作用を次のように書ける：
(43)
注意：
(44)
我々の2次元の平らな空間、つまり平面では、次のような対象が存在する：
(45)
これらの特殊な対象を考慮すると：
(46)
これらは同じ種に属する。どの2つの対象をとっても、一つ目の対象を二つ目に移すことができる群の元が存在し、逆も同様である。
第二の対象の部分集合：
(47)
は別の種に属する。
第三の対象も同様である：
(48)
しかし：
(49)
一つの対象からもう一つの対象へ移すことができる回転と並進cの組み合わせは見つからない。
向き付けられたユークリッド群を変更して、これを可能にすることはできるだろうか？