a4105
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対称性。
(49b)
これはどういう意味か？
四つの要素からなる群（「離散群」）を考える。
(50)
以下のように書ける：
(51)
対応する作用は：
(52)
明らかに、x座標、y座標、あるいは両方を反転させることができる。
図式的に：
(53)
(54)
(55)
(56)
これで行列を構成できる：
(57)
この行列の集合が群をなすことを確認できる。
行列式は：
(58)
det (a) = l m (cos²α + sin²α) = l m = ±1
逆行列が以下のようであることを確認する：
(59)
(60)
(61) よって：
(62)
したがって：
(63)
…SO(2)（特殊直交群と呼ばれる）はO(2)（直交群と呼ばれる）の部分群であり、行列aは行列aから以下のように構成できる：
(64)
ちなみに、これらの行列の多くは重複している。たとえば、もし
(64b)
(65)
これは、(x → -x, y → -y) の変換が、角度πの回転と等価であることを意味する。次の図を参照。
(66)
私たちは、行列：
(67)
が座標原点Oの周りの単純な回転に対応することを知っている。
より一般的な行列：
(68)
の意味は何か？
(69) からわかるように、aは以下の2つの操作の組み合わせに対応する：
- x軸OX、y軸OY、あるいは両方に対する対称操作。
- 座標原点Oの周りの角度αの回転。
(70)
図には、この2つの操作の順序（M1 → M4）が示されている。
明らかに、これは原点Oを通る直線に関する対称操作と等価である。
(71)
…私たちは元々直交群O(2)の出発点であった「特殊直交群」SO(2)を拡張した。その結果、この拡張された群には鏡映対称性が含まれていることがわかった：座標原点Oを通るすべての直線に関する対称操作である。
(72)
元の英語版
a4105
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Symmetries.
(49b)
What does it mean?
Consider a group composed by four elements (a "discrete group").
(50)
that I can write:
(51)
The corresponding action is:
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically:
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix:
(57)
We can check such set of matrices form a group.
Their determinant is:
(58)
det (a) = l m (cos²α + sin²α) = l m = ±1
Check the inverse matrix is:
(59)
(60)
(61) So that:
(62)
whence:
(63)
...SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrices a from the matrices a through:
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing (x → -x; y → -y) is equivalent to a rotation of π. See next figure.
(66)
We know that matrices:
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrices:
(68)
From:
(69)
we know that a corresponds to two combined operations:
- A symmetry with respect to axis OX, or OY, or both.
- A rotation α around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
(M1 → M4)
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
...We have enriched the "special orthogonal group" SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discover that this extended group contains mirror-symmetries: all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)