a4106
| 6 |
|---|
群の成分。
我々は2つの群、SO(2)とO(2)を検討した。後者は前者を含んでいる。
前者は単位元を含んでいる。群の要素を次のように表現できる：
(73)
第一の成分の要素は群（部分群）をなす。
第二の成分の要素は、多くの理由から群をなさない：
- 単位元 1 を含んでいない。
- この第二の成分から2つの行列を選んで、その積がこの第二の成分に属さない例がある。例えば：
(74)
単位元 1 を含む群の成分は、
群の単位成分と呼ばれる。
以降、2、4、8個の成分を持つ群を検討する。
ユークリッド群。
これで拡張され、豊かにされたこの群を2次元の平行移動と統合すると、次のようになる：
(75)
そして、このユークリッド群に対応する作用は：
(76)
アルファベット文字を操作し、制御し、研究するために、我々の群を使うとしよう。
集合を：A B C D E F G J K L N P Q R S Z に限定する。
いくつかのサイズがある：
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
同じ文字でもサイズが異なるため、群の要素やその後の群作用によって：
G を G に変換することは不可能であることを知っている。そこで、これらのサイズを「質量」と呼ぶことにする。これにより、G と G は異なる質量を持つ粒子、物体、原子に似た存在となる。今、この集合に対する群の作用に依存する。もし私が：
(78)
を使用すると仮定し、
この「世界」が：
(79)
のような特定のサイズ（質量）と角度のスペクトルで満たされているとする。群の作用を何であれ適用しても、ロシア語アルファベットに属する文字は決して得られない：
(80)
しかし、拡張された群、すなわちユークリッド群を使用すれば、それが可能になる：
(80b)
すると、私の「世界」は次のようになる：
(81)
群は文字の「動物園」を豊かにした。だが、私の動物園には対称性に関して不変な要素がある。すなわち：
(82)
(83)
(84)
(85)
…一般に、平面内の任意の直線（2次元鏡）に関する任意の対称性は、この文字の「性質」を変化させない。
(86)
このような文字を「光子」と呼び、変換
(87)
を物質と反物質の二重性に類似させる。これにより、全体的な動物園が得られる：
(88)
同じ形（性質）だがサイズが異なる（エネルギーを表す）文字を、デカルト群を使って結ぶこともできる：
(89)
…しかし、アルファベット文字に基づいた素粒子の完全なアナロジー的モデルは構築しない。いずれにせよ、我々が向かっている方向が少しずつ見えてきただろう。群は非常に単純な側面を持つが、隠された性質も持つ。これらの性質は、それらの部分群に依存しており、それらが「種」を生み出す。
…ユークリッド群はユークリッド世界、ユークリッド動物園と併存する。ユークリッド幾何学の動物は球、円筒、角柱、平面、直線、三角形などと呼ばれる。これらは特定の部分群の作用に対して不変である。スリオーは、ある種に属する物体に関連する部分群を、その物体の正則性と呼ぶ。
たとえば、ある点Oを中心とする球は、この点まわりの回転部分群の作用に対して不変である。
- 不変であること自体が、「点Oを中心とする球」という種の性質であると見なすことができる。
- 逆に、この性質がその種を定義すると見なすこともできる。
元の英語版
a4106
| 6 |
|---|
Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
-
Conversely we can consider that this property *defines *the species.