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私たちは分類を試みている。分類は、種の定義に基づいている。
同じ種に属する2つの物体は、共通の性質を持つ。
- 特別な球を一つ取り上げる。
- この球を不変に保つ、大群（ユークリッド群）の部分群を見る。シュリアウはこの部分群を球の「正則性」と呼ぶ。
- この部分群の作用によって不変となるすべての物体を探す。すると、ある特定の点を中心とするすべての球が得られる。ゼロ半径の球も含む：すなわち点そのものである。
したがって、この点は「原点を中心とする球」という種に属する。
逆に：
- 3次元空間内の一点を取る。
- この点を不変に保つユークリッド群の部分群を見る。すると直交群O(3)が得られる。
- その部分群の要素による回転に関して不変となるすべての物体を探す。すると、この点を中心とするすべての球が得られ、この点とこれらの球が同じ種に属することを結論づける。
直線、平面、円筒などといった物体は、特定の部分群に関連する「種」として「構成」できる。
…物理学では、素粒子を分類したい。しかし、あなたは指先で粒子をつまんでルーペで観察することはできない。観測できるのは、その振る舞い、すなわち「運動」だけである。
「どう動くか教えてくれれば、お前が何であるかわかる。」
…昔からの親友で、ジャン＝ルイ・フィロシュという優れたチェスプレイヤーがいる。彼は目隠しでプレイできる（フランス語で「jouer à l'aveugle」）。ただ駒の動きを伝えればよい：
b1-c3
非プレイヤー向けに：
(90) ナイトの動き
…ジャン＝ルイは頭の中ですべてを記憶できる。どうやっているのかは分からないが、うまくいく。これはチェス駒がなくてもゲームが可能であることを証明している（コンピュータも必要としない）。
…部屋にいるとして、隣の人たちが「あるゲーム」をしていると聞こえるとしよう。見えないが、彼らが手を打つときの音が聞こえる。
b2-b3 b7-b5 などと続く…
…あなたは「何かを動かしている」と考える。これはどんなゲームだろう？ボードを取り出し、小石を置き、その手順を紙に記録する。列のインデックスをC、行のインデックスをLとする。一手は次のように表される：
(DC, DL)
|DC| ≤ 1 かつ |DL| ≤ 1：キングの動き。
|DC| = |DL|：ビショップの動き（対角線上）。
|DC| × |DL| = 0：ルークの動き。
|DC × DL| = 3：ナイトの動き。
DLが正：白いポーン。DLが負：黒いポーン。
以下同様。こうして、物体の振る舞いに基づいて「物体」の分類を構築する。
別の例。混在したボルトが入った箱がある。これらを分類したい。何が必要か？異なるナットである。
(91)
- ボルトを一つ取り出す。
- それに合うナットを探す。
- そのナットに合うすべてのボルトを選ぶ。これで、ある種のボルトが得られる。
直交群 O(3)
…上記の2次元での議論を3次元に拡張できる。原点を固定した3次元空間における回転は、3つの角度a, b, γ（オイラー角）によって決まる。このような行列を明示的に書く代わりに、単に次のように表記する：
(92)
det(a) = +1
これは直交行列である：
(92b)
…直交群O(3)は、行列式が-1のものも含むすべての直交行列からなる。これらの行列を(93)と呼ぶ。
前節と同様に、SO(3)から次のようにすべての直交行列を得られる：
(94)
L は対角行列：
(95)
(96)
すべて冗長であるが、基本的な対称性が一目でわかる。
(97)
(98)
(98b)
(99)
「鏡像行列」と呼ばれるものがあり、物体の向きを反転させ、それを鏡に映した像にする：
(100)
この鏡像対称によって向きが反転する有向物体の例を挙げよ：
(101)
…これはヒルベルトの学生であったヴェルナー・ボーイが発明した曲面である。数学のページでこの興味深い物体に特に注目する。三重点Tを示すために、曲面の一部を切り取った。
…これらの物体のうち、一つを「右」または「左」と呼ぶことができる。しかし、ボーイ曲面の「右回転」の動きについて誰も明言したことはない。とにかく、なぜボーイ曲面を回転させるのか？ある者はそれが飛べると主張するが、私は懐疑的である。
次へ：
(102)
(103)
(104)
…2次元幾何学（原点に関する対称）と同様、x軸に関する対称はπ回転に等しい。最後に：
(105)
これは物体の向きを変える。