a4109
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群の成分について
O(2)は以下の2つの成分からなる群である：
- 中立成分（単位元1を含む部分群SO(2)）。
- その他の要素。
O(2)から2次元ユークリッド群を構成する場合：
(112)
この群は2つの成分を持つ。その中立成分はSO(2)の要素で構成される。
(113)
...
これを「特殊ユークリッド群」と呼ぶ。この群では、Rのような「文字」の向きを反転させることはできない。2つの成分を持つユークリッド群は「完全群」と呼ばれる。
... 特殊群（完全ユークリッド群の部分群）に対して：
(114)
これらの文字は異なる種に属する。なぜなら、この群GSE（またはSE(2)）の要素gEOで、最初の文字を2番目の文字に変換できるもの、あるいはその逆も存在しないからである。
... 一方、完全群に対しては、これらの2つの文字は同じ種に属する。なぜなら、第2成分に属する対称操作gE（群GEの要素）が、一方の文字を他方へ変換できるからである。
同様に、3次元ユークリッド群（「完全ユークリッド群」）：
(115)
もまた2つの成分を持つ。第1成分、すなわち「中立成分」はSO(3)の要素で構成される部分群である。
(116)
...
この中立成分を特殊ユークリッド群SE(2)と呼ぶ。この群に対して、右手と左手は異なる種に属する。なぜなら、GSEの要素gSEでは、左手を右手に変換できず、逆もまた然りだからである。
完全群に対しては、両者は同じ種に属する。
短い注意点：
人間が鏡を見て自分の姿を見るとき、左手と右手が入れ替わっていることに気づく。しかし、なぜ頭や足は入れ替わらないのだろうか？
この問いに対する答えは、フランスの数学者J.M.ソリアウによって与えられている：
(116b)
もう一つの技術的な注意点。向き付きユークリッド群から、スカラーl = ±1を用いて完全ユークリッド群を構成することが可能である。
(116c)
l = -1となる要素は第2成分に属し、「空間を反転」させ、物体をその対映体（エナンチオモルフィックな像）へと変換する。
4次元PT群への拡張
特殊直交群から出発する：
(118)
その後、(4,4)行列を用いてPT群を構成する：
(119)
これは4つの成分を持つ群（l = ±1；m = ±1）である。
この群は以下の作用によって時空に作用する：
(120)
以下のように書くことも可能であることに注意：
(121)
しかし、基本的な作用が変わらないため、結果には影響しない。
4つの成分のうち、中立成分、すなわち「空間と時間の向き付き群」が存在する。
(122)
...
以下の関係が成り立つ：
(123)
以下に注意：
(124)
gSOTOもまた直交行列である。直交行列はこの公理的性質によって定義される。
... ここでは、行列そのものよりも、特定の行列群の公理的性質を広く利用する。SO(2)の場合には行列を明示的に記述したが、SO(3)やO(3)についてはそうしない。なぜなら、それは必要なく、計算を不必要に複雑にするだけである。むしろ、群の行列に関する公理的性質を利用することで、はるかに効率的かつ洗練された扱いが可能となる。
予め述べておくと、以下の行列を考える：
(125)
ここで：
(126)
対角行列として表すと：
(127)
さらに：
(128)
これらの行列が群をなすことを示せ。
以下を検討する：
(129)
そして次のように積を構成する：
(130)
このようにして得られる「一般化ローレンツ行列」の積は、公理を満たす。
逆行列が群に属することを示せ：
(131)
逆行列を計算せよ。
(132) (132b)
これは特別な場合に対応する：
(132c)
...
この行列の形は、時空の計量（後述のローレンツ行列を用いて相対論的世界を扱う際にも再び確認される）に一致する。
(133)
ここでxは時空ベクトルである。
この関係は基本的な2次形式に対応する：
(134)
ここで：
(134b)
これにより得られるのは：
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ctは「時系列変数」となる。
これは、速度が無限にまで達することができるユークリッド時空に対応する。
元の英語版
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About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
- Its neutral component ( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ).
- The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
...We call it Special Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R. The Euclid's group with its two components is called the *complete group *.
...With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element gEO of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
...With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element gE of the group GE ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the neutral one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
...We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element gSE of GSE which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
gSOTO is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
...Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such generalized Lorentz matrixes obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132) (132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
... The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135) ds2 = dx°2 + dx2 + dy2 + dy2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.