群と物理学 共役作用 運動量
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ポアンカレ群Gpの要素gpは、パラメータ{pi}の列によって定義される。その数は、すでに述べたように、群の次元を表す。行列dg(g = e)は、{dpi}の量で構成される。したがって、上記の写像は以下のタイプとなる：
(81)
言い換えれば、スカラーの集合dpiに、同数のスカラーdpi'を対応させる。双対性とは、以下の通り、あるスカラーの不変性を仮定することである：
(82)
ここでnは群の次元（ポアンカレ群では10）である。スカラーJiは運動量の成分を表す。その数も同じである。
我々はこの運動量Jを二つの対象に分解することにする。一つ目は(4,4)型の反対称行列Mであり、したがって6つの成分を持つ。二つ目は「4元ベクトル」P、(4,1)型の行列である：
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } 内積は以下の形式で書く：
(85)
Trは「トレース」という意味で、さらに以下の通りである：
(86)
この線形形式の不変性が双対性を保証する。
ただし：
(87) (87b)
(87c)
しかしGG = 1なので、これは以下の通りである：
(88)
yの項を比較する：
(89)
つまり：
(90)
----> ここにも行列計算の詳細が続く。ご希望であれば、こちらをクリックして直接結果に移動できます。
トレースでは項の巡回置換が可能である。
(90a)
(90b)
(90c)
右辺の第二項は行ベクトルと列ベクトルの積に等しい。
これは逆順の積のトレースに等しい（以下、図式的に、行ベクトルと列ベクトルの積）：
(90d)
このトレースでは巡回置換が可能である：
(90e)
したがって：
(90f)
(90g)
ここでは再び、行列のトレースに関する定理を適用する。行列は対称化または反対称化できる。さらに、行列と対称行列の積のトレースはゼロである。
(90h)
これを行列(90i)に適用できる。なぜならトレースを取っているからである。
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
しかし：
(90l)
したがって
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
また：
(90q)
最終的に：
(90r)
整理し、プライムを移項することで、群作用を得る：
図
