3
平行移動群：
2次元空間（x, y）を考える。このような空間において、平行移動は移動ベクトル（Dx, Dy）によって定義される。通常次のように書く：
(27)
x' = x + Dx
y' = y + Dy
新しい値x'とy'を得るために、私たちは加算を使用する。では、乗算によって同じ結果を得ることは可能だろうか？
以下の行列を考える：
(28)
これらが独立した2つのパラメータDxおよびDyによって定義されていることに注目する。したがって、この群の次元は2である。
形式：
(29)
これは単純な行列乗算
(30)
g × r
とは本質的に異なることに注意する。
これは群の特別な作用である。
(31)
一方で、3次元または4次元空間における平行移動も考えることができる。対応する正方行列で構成される群は以下の通りである：
(32)
(33)
対応する作用は：
(34)
平行移動群は可換群であり、その単位元は零平行移動である。
行列群とはなぜ必要か？
行列群を用いることで、複数の操作を1つの操作、1つの作用に統合できる。以下の行列と作用を考える：
(35-1)
ここでは2つの操作を組み合わせている：回転（角度a）と平行移動（Dx, Dy）。
群Gの要素gは空間r = (x, y)に対して「直接的」ではなく、より洗練された「作用」を通じて作用する。
この群
(35-2)
「特殊ユークリッド群 SE(2)」と呼ばれるが、この名前の意味は後で説明する。
その次元は何か？これは3つの自由パラメータ（a, Dx, Dy）に依存するため、次元は3である。以下のように書ける：
g ∈ SE(a, Dx, Dy)
部分群。
私たちにとって、群とは正方行列の集合である。この集合の中には部分集合も存在する。
g ∈ SE(0, Dx, Dy) は平行移動の部分群である。
g ∈ SE(a, 0, 0) は原点0周りの回転の部分群である。
g ∈ SE(0, Dx, 0) はOX軸に平行な平行移動の部分群である。
上記の群は点を運ぶ。これらの点に特徴的な性質はない。単に…点であり、それ以上でもそれ以下でもない。
しかし後で、物理世界を記述する他の群が、質量、エネルギー、運動量、スピンといった「属性」を持つ点を運ぶことになるだろう。
上記の群では、点の集合だけが運ぶ価値がある。ここに基本的な概念である：
種類。
私たちの最初の群は、点の集合、すなわち幾何学的（剛体）図形である幾何学的対象を運ぶ。最も単純な集合は2つの点からなる。2次元空間における点のペアを考える：
(35-3)
図(35-3)では、2つの点のペア(A, B)と(A', B')が描かれている。点Oを中心とする回転と平行移動を組み合わせることで、(A, B)を(A', B')に変換する群の要素を見つけることができる。図(35-4)を参照。
(35-4)
今、次の2つのペアを考える：
(35-5)
私の群Gの要素g（正方行列）で(A, B)を(A", B")に運ぶことは不可能である。私は次のように言う：
(A, B)と(A', B')は同じ種類に属する。
(A, B)と(A", B")は異なる種類に属する。
点のペアの種類の特徴量は「長さ」と呼ばれる。
これは群論の観点から見た長さの定義である。
どうして2つの線分が同じ長さであると断言できるか？それは、一方を他方に重ねて比較できるからである。
私たちの群では、長さが異なる2つの線分は異なる種類に属する。なぜなら、この群は拡大や縮小（相似変換）を許さないからである。このような変換を扱う群は別のもの（「特殊デカルト群」）である：
(35-6)
この群に対しては、すべての点のペアが同じ種類に属する。この群の次元は4である。
2つの点ではなく、3つまたは4つの点を考えることもできる。後者はたとえば正方形を形成する。
(36)
群(35-1)に対しては、辺の長さが等しい正方形は同じ種類に属する。しかし、2つの正方形の辺が本質的に異なる場合：
(37)
それらは異なる種類に属する。
2次元空間における平行移動と平面内の固定点周りの回転を制御するこの群は、特殊ユークリッド群：SE(2)である。
3次元空間上で作用する類似の群を容易に想像できる。3次元および4次元の平行移動群はそれぞれ(32)、(33)に示されている。
n次元空間における平行移動を記述する群も容易に想像できる。しかし回転はどうなるだろうか？
3次元空間における回転を想像できる。さらに、オイラー角という3つの角度を含む行列で表現することも可能である：その次元は3である。
索引 動的群論
オリジナル版（英語）
3
Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector (
Dx,
Dy). We use to write :
(27)
x' = x +
D x
y' = y +
D y
To get the new values x' and y' we use
addition
. Could we get the same results through a .....
multiplication
?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters
Dx and
Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30)
g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (
Dx,
Dy).
The element
g
of the group G acts on space
r
= (x,y), not "directly" but through some more refined "action".
This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (
a
,
D x ,
Dy), so that its dimension is three. We may write :
g
SE (
a
,
Dx ,
D y)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
g
SE
(0,
Dx,
Dy) is the sub-group of translations.
g
SE
( a
, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 .
g
SE
(0,
Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element
g
( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called
length
.
This is the definition of length in terms of group theory.
How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.
Index Dynamic Groups Theory