5
対称性。
(49b)
これはどういう意味か？
4つの要素からなる群（「離散群」）を考える。
(50)
次のように書ける：
(51)
対応する作用は：
(52)
明らかに、x座標、y座標、または両方を反転させることができる。
図示すると：
(53)
(54)
(55)
(56)
これにより、行列を構成できる：
(57)
この行列の集合が群をなすことを確認できる。
その行列式は：
(58)
det (
a
) = l m (cos² a + sin² a) = l m = ±1
逆行列が以下の通りであることを確認する：
(59)
(60)
(61)
したがって：
(62)
よって：
(63)
SO(2)（特殊直交群と呼ばれる）は、O(2)（直交群と呼ばれる）の部分群であり、行列
a
を行列
a
から次のように構成できる：
(64)
ちなみに、多くの行列は重複している。例えば、
(64b)
(65)
これは、(x → -x；y → -y)という変換が、角度πの回転と等価であることを意味する。次の図を参照。
(66)
私たちは、行列：
(67)
が座標原点Oの周りの単純な回転に対応することを知っている。
より一般的な行列：
(68)
の意味は何か？
式：
(69)
から、行列
a
が以下の2つの操作の組み合わせに対応することがわかる：
-
x軸OX、y軸OY、または両方に対する対称性。
-
座標原点Oの周りの角度aの回転。
(70)
図には、2つの操作の順序（M1 → M4）が示されている。
明らかに、これは原点Oを通る直線に関する対称性と等価である。
(71)
これにより、「特殊直交群」SO(2)は、元々「直交群」O(2)から生じたものであったが、拡張されたこの群には鏡映対称性が含まれていることがわかった。すなわち、座標原点Oを通るすべての直線に関する対称性が含まれている。
(72)
索引 動的群論