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分類を試みる。分類は「種」の定義に基づく。
同じ種に属する2つの物体は、共通の性質を持つ。
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球を一つ取り上げる。特に特定の球である。
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この球を不変に保つ、大群（ユークリッド群）の部分群を調べる。スリアウはこの部分群を「球の正則性」と呼ぶ。
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その部分群の作用によって不変となるすべての物体を探る。すると、ある特定の点を中心とするすべての球が得られる。半径0の球、すなわち点も含まれる。
したがって、その点は「原点を中心とする球」の種に属する。
逆に：
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3次元空間内の一点を取る。
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この点を不変に保つユークリッド群の部分群を調べる。すると直交群O(3)が得られる。
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その部分群の要素による回転に関して不変となるすべての物体を探る。すると、この点を中心とするすべての球が得られ、この点とこれらの球は同じ種に属するという結論になる。
直線、平面、円筒などといった物体は、特定の部分群に関連付けられた「種」として「構成」できる。
物理学では、基本粒子を分類したい。しかし、指の間に粒子を挟んでルーペで観察することはできない。観察できるのはその振る舞い、すなわち
運動
だけである。
君の動き方を教えてくれれば、君が何者かを教えてあげる。
昔からの親友にジャン＝ルイ・フィロシュというチェスの名人がいる。彼は目を閉じて（フランス語で「目隠しで」）プレイできる。ただ駒の動きを伝えればよい。
b1-c3
非プレイヤー向け：
(90)
ナイトの動き
ジャン＝ルイは頭の中ですべてを記憶できる。どうやっているのか分からないが、うまくいく。これはチェスの駒がなくてもプレイできることを証明している（コンピュータも使わない）。
部屋にいて、隣の人たちが「あるゲーム」をしていると聞こえるとしよう。彼らは見えないが、手の動きを聞ける。
b2-b3
b7-b5
などと続く。
「何かを動かしているな」と思うだろう。一体どんなゲームだろう？ あなたはチェス盤を取り出し、小さな石を置き、その手順を紙に記録する。列のインデックスをC、行のインデックスをLとする。一手は次のように表される：
( ΔC , ΔL )
|ΔC| = 1 かつ |ΔL| = 1：キングの動き。
|ΔC| = |ΔL|：ビショップの動き（対角線上）。
|ΔC| × |ΔL| = 0：ルークの動き。
|ΔC × ΔL| = 3：ナイトの動き。
ΔL > 0：白いポーン。ΔL < 0：黒いポーン。
以下同様。こうして、「物体」の分類を
振る舞いに基づいて構築する。
別の例。ボルトが混ざった箱がある。それらを分類したい。何が必要か？ 異なるナットである。
(91)
-
ボルトを一つ取る。
-
それに合うナットを探す。
-
そのナットに合うすべてのボルトを選ぶ。これで一つのボルトの種が得られる。
直交群 O(3)。
上記の2次元における議論を3次元に拡張できる。原点（座標の原点）を固定して3次元空間内での回転は、オイラー角 a, b, g の3つの角度で決定される。このような行列を明示的に書く代わりに、単に次のように表す。
(92)
det(α) = +1
これは直交行列である：
(92b)
直交群 O(3) は、すべての直交行列（行列式が -1 のものも含む）からなる。これらの行列を (93) と呼ぶ。
前節と同様に、SO(3) から次のようにすべての直交行列を得られる：
(94)
L は対角行列：
(95)
(96)
これらは重複しているが、基本的な対称性がすぐに明らかになる。
(97)
(98)
(98b)
(99)
鏡面変換を表す「鏡行列」があり、これにより物体の向きが反転し、鏡像に変換される：
(100)
この鏡対称によって向きが反転する有向物体の例を挙げてください：
(101)
これはヒルベルトの学生であるヴェルナー・ボーイが考案した曲面である。この興味深い物体については、数学のページで特に注目される。三重点Tを示すために、曲面の一部を削除している。
これらの物体の一つを「右」または「左」と呼ぶことができる。しかし、ボーイ曲面の「右回転」の動きについて誰も定義したことはない。とにかく、なぜボーイ曲面を回転させるのか？ ある人はそれが飛べると主張するが、私は疑っている。
次に：
(102)
(103)
(104)
2次元幾何学（原点に関する対称）と同様、x軸に関する対称は、πの回転に等しい。
最後に：
(105)
これらは物体の向きを変える。
索引 動的群論
元の英語版
7
We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
-
Take a sphere, a peculiar sphere.
-
Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the
regularity
of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
-
Take a point of a three-dimensional space.
-
Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
-
Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its
movement
.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90)
Horse's move
Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3
b7-b5
and so on.....
You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( D C ,
D L )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"
based on their behaviour
.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
Orthogonal group
O(3).
We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det (
a
) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
Lbeing the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of
p
.
Finally :
(105)
which change the orientation of objects.
Index Dynamic Groups Theory