物質と反物質の幾何学的構造化：群の共随伴作用による運動量空間への作用。4：
双子群。ディラックの反物質の幾何的記述。
フェインマン以降の反物質の幾何的解釈といわゆるCPT定理。(p4)
メトリクスに関するいくつかのコメント。
群のすべての要素は、次の式に従う完全ローレンツ群の要素から構成されている：
(7)
(4507)
ここで、
(8)
(4508)
この最後の行列は次のメトリクスに関連している：
(9)
(4509)
したがって、2つの折り目は同じシグネチャを持つ。もしこれらがミンコフスキー空間とみなされるなら、メトリクスは同一である。しかし、時間の矢は逆向きである。
もし2つの折り目、2つの宇宙を記述したいのであれば、自分の時間の矢と空間の向きを選ばなければならない。
物質と反物質の双対性は両方の折り目で発生することが明らかである。もし第二の折り目を「双子折り目」(A.サクハロフ)、または「影の折り目」(グリーン、シュワーツ、サラム)、または「幽霊の折り目」(著者の選択)と呼ぶと、この第二の折り目における時間の矢は逆向き（T対称性）であり、空間構造は反対（P対称性）となる。これはA.サクハロフの予測通りである。
第二の折り目において物質は我々の物質に対してCPT対称である。したがって、この折り目において陽子は負の電荷を持ち、電子は正の電荷を持つ。
逆に、この折り目の反電子は我々のものに対してPT対称であり、負の電荷を持つため、第二の折り目の反陽子は正の電荷を持つ。
要するに、第二の折り目は我々のものに対してCPT対称である。アンドレイ・サクハロフが示唆したように、この折り目においてパリティの原則の違反が逆転する可能性がある。
もし我々の折り目において反物質が存在しないのは、パリティの原則の違反の直接的な結果であるなら、この不対称性が他の折り目において逆転する可能性がある。
相互作用する折り目。
我々の天体物理学および宇宙論のすべての研究（参考文献「幾何学的物理学A」を参照）は、次の2つの結合された場の式のシステムから導かれる：
(10)
S = c ( T - T
- )
(11)
S* =
c ( T
T )
この2つのマイナス記号は、事前に仮定されたものである。このグループ理論に基づく作業の終わりに、説明が現れる。2つの折り目は、
時間の矢が逆でなければならないし、
空間構造が反対でなければならない。
これにより、グループ構造からの制約を満たすことができる。
したがって、第一の折り目にいる観測者にとって、他の折り目の物質は負の質量を持つように見える。これは共随伴作用とT対称性によるものである。
結論。
参考文献[3]の作業から始め、正の質量と負の質量の粒子の出会いを避けるためにモデルを変更した。解決策は、群の正時部分群による商として、10次元の2つの折り目（F、F*）を構築することだった。
その結果、時間の矢が逆の2つの空間が得られる。
我々は、群の異なる成分が運動量空間および運動空間に与える影響を研究した。物質と反物質の双対性が両方の折り目、両方の宇宙で発生することを示した。
この作業は、幾何学的ツールを通じて反物質についての新たな視点を提供する。
例えば、ディラックの反物質は我々の折り目の反物質である。
第二の折り目の物質は、我々の物質に対してCPT対称である。
我々の折り目に属する物質粒子のPT対称は、他の折り目の反物質である。
我々の宇宙の物質と反物質の粒子は正の質量とエネルギーを持つ。
第二の折り目の物質と反物質の粒子は負の質量とエネルギーを持つ。
付録：
群の拡張。
行列から構成される群を考える：
(1)
(4513)
Aは正方行列である。
Bは列行列であり、Oはすべての要素がゼロの行行列である。
拡張を考慮する：
(2)
(4514)
ここで、
Jは次の行部分行列である：
(3)
(4515)
Jはスカラーである。
(2)が群であることを確認する：
(4)
(4516)
(5)
(4517)
(6)
(4518)
それでは：
(7)
(4519)
逆行列は：
(8)
(4520)
リー代数の要素は：
(9)
(4521)
g 3-1 のリー代数要素 d g 3 への作用を計算する：
(10)
(4522)
(11)
(4523)
g は行列である：
(12)
(4524)
したがって：
(13)
(4525)
識別：
(14)
(4526)
は次のようになる：
(15)
(4527)
(16)
(4528)
