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2009년 12월 30일
나는 내가 만든 보이 표면을 팔았다.
드디어: 이 길이 1.4미터에 달하는 물체가 오늘 아침 벨기에로 출발했다. 이 물체는 한 의사가 구입했으며, 그는 또한 란투르루의 만화를 꾸준히 읽는 팬이기도 하다. 그는 이미 '톱로지콘'이라는 책을 읽어 보이 표면을 알고 있었다. 이 책은 다음 사이트에서 무료로 다운로드할 수 있다:
****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm
톱로지콘은 위키백과 페이지에 언급되어 있지만, 링크가 바로 사이트의 다운로드 페이지로 연결되지 않아 매우 아쉽다. 누군가 이 링크를 추가해 줄 수 있겠지만, 나는 개인적으로는 불가능하다. 왜냐하면 나는 2006년 10월에 위키백과에서 '영구 퇴출'되었기 때문이다. (그 이유는, 이전에 노르말 슈페리외르 출신의 학생이었으며, 이론 물리학에서 초현실론 이론에 대해 박사학위를 받은 그의 신원을 폭로했기 때문이다. 그는 그 학위를 통해 은행에서 직장을 얻을 수 있었다.)
이 물체는 파리의 과학궁전 '피의 방'에서 25년 동안 전시되었다. 몇 년 전, 과학궁전의 관리부가 이 방에 나무로 만든 작은 강의실을 설치하려 했을 때, 나는 이 물체를 미리 회수했다. 그렇지 않으면 이 물체는 누군가의 발 아래에 짓밟히거나, 무언가의 창고에 방치되어 '소비 가능한 과학'의 대상이 되었을 것이다.
과거 과학궁전에서 피라미드 건설에 관한 다양한 이론을 다룬 전시회가 열렸을 때, 전시실에서는 50cm × 50cm 크기의 매우 아름다운 모형을 만들었다. 이 모형은 돌로 만든 경사로의 모서리 부분을 보여주었다. 나는 이 물체를 회수하고 싶었지만, 최근 소식에 따르면 그 모형은 분실된 것으로 알려져 있다. 아니면 '소비 가능한 과학'이라는 이유로 쓰레기통에 버려졌을지도 모른다. 혹시 이에 대해 아는 독자가 있다면 알려주기 바란다.
과학궁전을 방문하면, 플라즈마 화면을 통해 실시간으로 다양한 정보를 보여주는 가상 세계의 침투에 놀라게 된다. 그 결과, 다음과 같은 생각이 든다. "이곳에 직접 와서 보는 것보다, 인터넷을 통해 집에서 이 모든 것을 볼 수 있지 않겠는가?"
가상 세계, 소비 가능한 과학, 당신에게는 영혼이 있단 말인가?
이건 시대의 흐름이다.
보이 표면이 수학에서 왜 중요한가? 두 차원의 닫힌 표면 중에서 특이점이 없는 경우, 네 가지만 존재한다:
| - 구면 | - 토러스 | - 클라인 병 | - 보이 표면 |
|---|
첫 세 가지는 오랫동안 익숙한 것이었다. 네 번째인 보이 표면은 더 신비로웠다. 1970년대 후반, 내가 아시에 프로방스의 아카데미 드 베아르 아르스에서 조각 교사로 재직할 때, 나는 이 표면의 처음으로 두 개의 곡선 군을 포함하는 표현을 만들었다. 이는 구면 S2의 경도-위도 선과 유사한 집합이다. 만화에서 보듯이, 독일 수학자 페르너 보이(힐베르트의 제자)가 고안한 이 표면은, 구면의 각 점이 그 반대점과 겹치도록 하는 점의 변환 결과이다. 따라서 북극은 남극과 겹치게 된다. 구면의 경선은 보이 표면의 경선 위로 감겨진다.
나는 즉시 한 곡선 군을 타원과 일치시키는 아이디어를 떠올렸다.
당시 젊은 지르ôme 수리오는 아버지가 수학자였기 때문에, 아버지의 애플 II를 사용할 수 있었다. 어느 날 나는 그에게 말했다.
*- 이 일을 해주면, 우리가 수학 분야에서 논문을 발표할 수 있지 않겠어? *
그는 이렇게 답했다.
*- 그걸 위해 누구를 죽여야 하는 거야? *
그저 자침과 눈금자로 타원의 측정을 하고, 그 결과를 푸리에 급수를 이용해 곡선을 만들고, 그 곡선을 표현하는 것이었다. 그는 하루 종일 작업을 완료했다. 파리 과학 아카데미의 보고서에 실린 논문은 문제없이 통과되었다. 이 논문의 복사본 보기
이 방정식은 파리 폴리테크닉 학교의 첫 번째 컴퓨터 그래픽 스튜디오를 이끌던 콜로나가 이 물체의 처음 이미지를 제작하는 데 사용했지만, 그는 자신이 사용한 방정식을 언급하지 않았다. (이런 행동은 '과학 공동체'에서 매우 흔한 일이다.)
JP 페티-지르ôme 수리오의 표현을 바탕으로 만든 이미지. 세 개의 불쾌한 주름은 푸리에 표현의 부족한 마무리에서 비롯됨.
이후, 매개변수 표현이 여러 가지로 개발되었다. 아래는 R. 브라이언트의 표현이다.
이 두 번째 발견, 즉 타원 경선을 사용한 매개변수화는, 스트라스부르의 수학자 베르나르 모린의 제자인 수학자 아페리가, 이 표면의 암묵적 표현(6차)을 처음으로 만들어내는 데 기여했다. (그의 박사 논문에서 이 발명을 금속 조각가 막스 소즈에게 돌렸다. 소즈는 금속 용접 전공 박사였다.)
f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0
아주 복잡하다.
아페리의 암묵적 표현을 이용해 만든 보이 표면 이미지. JP 페티의 '타원 경선' 포함.
위키백과 사이트에서 이 페이지에서는, 1988년 출간된 '톱로지콘'에 있는 플립북을 영감으로 삼은 애니메이션을 볼 수 있다. 동일한 방식으로, 이 물체의 다각형 표현(또 다른 나의 발명으로, 이 책에도 포함되어 있음)도 둥글게 다듬어진 모서리로 표현되어 있다.
1988년, 수학자 브레임은 10개의 면을 가진 또 다른 다각형 표현을 제시했다. 또한, 이 물체는 9개 미만의 면을 가질 수 없다는 정리가 있다.
취향과 색깔에 대해서는 논쟁하지 말라.
아페리의 표현으로 돌아가자. 현재까지 알려진 유일한 암묵적 표현이다. 왜 이 표면은 그렇게 불균형하며(따라서 방정식도 너무 복잡한가)?
아페리는 모린의 지도 아래에서 이 물체의 3중 대칭성을 활용하지 않았다. 방정식은 OZ축을 대칭축으로 설정했지만, 이는 오류다. 더 나은 결과를 얻기 위해, 대칭축으로 벡터 (1, 1, 1)를 선택해야 한다. 그러면 좌표 x, y, z를 서로 바꿔도 방정식이 변하지 않게 된다. 게다가, 좌표의 원점을 삼중점에 두고, 표면의 세 개의 접선 평면을 주평면으로 정하면, 2차, 1차, 상수항이 제거되고, 3차 항은 단지
x y z
로 줄어든다.
이런 대칭성은 1844년, 로마에서 스테이너가 발견한 표면에서 사용된다. 이후 이 표면은 '로마 표면'이라 불리게 되었다. 그 방정식은 다음과 같다:
이 표면을 살펴보자:
스테이너의 로마 표면
이 표면 역시 타원으로 이루어져 있으며, 이와 마찬가지로 단면이므로, 먹을 수 없다.
로마 표면의 타원 군
로마 표면은 '오른쪽도 아니고 왼쪽도 아니다'. 반면 보이 표면은 두 가지 반사 대칭 형태가 존재한다. 즉, '오른쪽 보이'와 '왼쪽 보이'가 있다. 2003년(시간이 빠르다)에, 나는 마르세유의 성 제롬 학부 기하학과에서 세미나를 진행하면서, 오른쪽 보이 표면을 로마 표면을 거쳐 왼쪽 보이 표면으로 변환할 수 있음을 보였다.
/legacy/science/maths_f/Crosscap_Boy1.htm
수학 세미나를 진행하는 저자
일부 독자들은 인포그래픽 도구를 잘 다룬다. 지시된 폴더를 따라 스캔하고 보간하면 애니메이션을 만들 수 있다. 누군가 도전해보고 싶다면...
애니메이션은 재미있다. 나는 내가 개발한 CAD 소프트웨어인 스크린을 사용해 이 애니메이션을 만들었다. 이 애니메이션은 큐브 뒤집기의 중간 단계를 보여주며, 이는 모린의 4개 귀 모델의 다면체 버전이다.
큐브 뒤집기의 중간 단계
이 분야에서 할 일은 정말 많다. 나는 단지 수학 박사 과정 후보자들을 위한 한 가지 방향을 제시하고자 한다. 보이 표면의 암묵적 표현 중에서 경선이 타원인 것이 존재한다. 이 방정식이 수학의 역사에 남을 것이며, 그 방정식을 해방시킨 사람의 이름도 함께 남을 것이다. 이 방정식은 아직 찾지 못했다. 출발점은 위에서 언급한 대로 3중 대칭성을 활용하는 것이다.
좋은 사냥을 하라...
결국, 과학궁전의 '피의 방'을 장식했던 보이 표면이 벨기에로 떠났다. 나는 이 표면을 20미터 높이의 거대한 조각으로 만들어, 사람들의 몸을 통과할 수 있도록 하고 싶었다. 그 정도면 최소한 멋지지 않았을까? 그러나 그렇지 않았다. 허접한 조각가들이 이 공간을 영혼 없는, 구조 없는, 어떤 풍부함도 없는 조각들로 가득 채웠다.
하지만 나는 이 놀라운 물체의 사진을 남기고 싶지 않았다. 그 이유는 이해해 줄 것이다.
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