a4103
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이동군:
2차원 공간 (x,y)를 고려해 보자. 이러한 공간에서 이동은 이동 벡터 (Dx, Dy)로 정의된다. 일반적으로 다음과 같이 쓴다:
(27) x' = x + Dx, y' = y + Dy
새로운 값 x'과 y'을 얻기 위해 우리는 덧셈을 사용한다. 같은 결과를 곱셈을 통해 얻을 수 있을까?
다음 행렬들을 고려해 보자:
(28)
이 행렬들이 서로 독립적인 두 매개변수 Dx와 Dy로 정의됨을 알 수 있다. 따라서 이 군의 차원은 2이다.
형태:
(29)
이것이 단순한 행렬 곱셈
(30) g × r
과 본질적으로 다르다는 점에 주목하자.
이는 군의 특별한 작용이다.
(31)
또한 3차원 또는 4차원 공간에서의 이동도 고려할 수 있다. 이에 해당하는 정사각 행렬로 구성된 군은 다음과 같다:
(32)
(33)
해당 작용은 다음과 같다:
(34)
이동군은 교환법칙을 만족한다. 항등원은 영이동이다.
행렬 군을 사용하는 이유는 무엇인가?
...행렬 군을 사용하면 여러 가지 연산을 하나의 연산, 하나의 작용으로 결합할 수 있다. 다음 행렬들과 작용을 고려해 보자:
(35-1)
...두 가지를 결합한다: 각도 a의 회전과 (Dx, Dy)의 이동.
군 G의 원소 g는 공간 r = (x,y)에 "직접적으로" 작용하는 것이 아니라, 더 정교한 방식으로 작용한다. 이 군
(35-2)
"특수 유클리드 군 SE(2)"라 불리며 2차원 공간에 작용한다. 이 이름은 나중에 설명될 것이다.
그 차원은 얼마인가? 세 개의 자유 매개변수 (a, Dx, Dy)에 따라 결정되므로 차원은 3이다. 다음과 같이 쓸 수 있다:
gSE(a, Dx, Dy)
부군:
우리에게 군은 정사각 행렬의 집합이다. 이 집합 내에서 부분집합을 찾을 수 있다.
gSE(0, Dx, Dy)는 이동의 부군이다. gSE(a, 0, 0)는 원점 0 주위의 회전 부군이다. gSE(0, Dx, 0)는 OX축과 평행한 이동 부군이다.
위의 군은 점들을 옮긴다. 이러한 점들은 특별한 특성을 갖지 않는다. 단지... 점일 뿐이다.
...그러나 나중에는 물리 세계를 묘사하는 다른 군들이 등장할 것이며, 이들은 질량, 에너지, 운동량, 스핀과 같은 다양한 특성(속성)을 가진 점들을 옮길 것이다.
위의 군에서는 단지 점들의 집합이 옮기는 데 관심이 있다. 여기서 핵심 개념인:
종류(Species)가 등장한다.
...우리의 첫 번째 군은 점들의 집합, 즉 기하학적("강체") 도형을 옮긴다. 가장 단순한 집합은 두 점으로 이루어진다. 2차원 공간에서 점 쌍을 고려해 보자:
(35-3)
...그림 (35-3)에서는 점 쌍 (A,B)와 (A',B')가 나타나 있다. 나는 점 O를 중심으로 한 회전과 이동을 조합함으로써 (A,B)를 (A',B')로 변환하는 군의 원소를 찾을 수 있다. 그림 (35-4)를 참조하라.
(35-4)
이제 두 점 쌍을 고려해 보자:
(35-5)
내 군 G의 어떤 원소 g(정사각 행렬)도 (A,B)를 (A",B")로 옮길 수 없다. 나는 다음과 같이 말할 것이다:
(A,B)와 (A',B')는 같은 종류에 속한다.
(A,B)와 (A",B")는 서로 다른 종류에 속한다.
점 쌍의 종류의 특성은 길이라 한다.
이는 군론적 관점에서 길이의 정의이다.
...어떻게 두 선분이 같은 길이를 가진다고 말할 수 있는가? 서로 겹쳐보면서 비교할 수 있기 때문이다.
...우리의 군에서는 길이가 다른 두 선분은 서로 다른 종류에 속한다. 왜냐하면 우리 군은 확대나 축소(동형 변환)를 허용하지 않기 때문이다. 이를 담당하는 군은 다른 군("특수 디카르트 군")이다:
(35-6)
이 군에 대해선 모든 점 쌍이 같은 종류에 속한다. 이 군의 차원은 4이다.
두 점 대신 세 점이나 네 점을 고려할 수도 있다. 예를 들어 네 점은 정사각형을 형성할 수 있다.
(36)
...군 (35-1)에 대해, 변의 길이가 같은 정사각형들은 같은 종류에 속한다. 그러나 두 정사각형의 변이 본질적으로 다르다면:
(37)
그들은 서로 다른 종류에 속한다.
이 군은 2차원 공간에서의 이동과 평면 상의 고정된 점 주위의 회전을 다루며, 특수 유클리드 군 SE(2)라고 한다.
이제 우리는 3차원 공간에 작용하는 유사한 군을 쉽게 상상할 수 있다. 3차원 및 4차원 이동군은 (32), (33)에 제시되었다.
n차원 공간에서의 이동을 묘사하는 군도 쉽게 상상할 수 있다. 그러나 회전은 어떻게 될까?
...3차원 공간에서의 회전을 상상할 수 있다. 심지어 오일러 각 세 개를 포함하는 행렬로도 표현할 수 있다: 따라서 그 차원은 3이다.
원문(영어)
a4103
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Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.