a4104
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직교 행렬. 직교 군.
정사각 행렬 a를 고려하자. 전치 행렬은 대각선에 대해 대칭적인 원소들을 교환한 것으로, 그림과 같이 나타낼 수 있다:
(38)
역행렬을 a-1로 표기한다.
이는 다음 관계를 만족한다:
a × a-1 = 1
이제부터 곱셈 기호 ×를 생략하고 단순히 a a-1 = 1과 같이 쓰겠다. 두 굵은 글자가 옆에 붙어 있을 경우, 자동으로 두 행렬의 곱을 의미한다고 간주한다.
직교 행렬은 역행렬이 전치 행렬과 일치하는 행렬이다.
(38b)
다음과 같이 보일 수 있다:
(38c)
따라서 직교 행렬의 행렬식은 ±1이 된다.
이들은 임의의 차수(n,n)의 직교 행렬이며, 군을 이룬다.
O(n) O(n)은 (n,n) 직교 행렬들의 집합이다.
다음 행렬들을 고려하자:
(39)
이들은 직교 행렬이며, 그 행렬식은 다음과 같다:
det( g) = +1
이는 2차 직교 군 O(2)의 부분군으로, '특수 직교 군' SO(2)라 불린다.
3차 직교 군 O(3)은 행렬식이 ±1인 (3,3) 직교 행렬들로 구성되며, 그 안에는 행렬식이 +1인 직교 행렬들로 이루어진 부분군 SO(3)이 존재한다.
4차원에서는 직교 군 O(4)와 그 부분군인 특수 직교 군 SO(4)가 있다.
n차원에서는 (n,n) 직교 행렬들로 구성되며, 행렬식이 ±1인 직교 군 O(n)이 존재한다. 이 군은 행렬식이 +1인 직교 행렬들만 포함하는 부분군인 특수 직교 군 SO(n)을 가진다.
직교 군의 차원은 다음과 같다는 것이 증명될 수 있다 (40)
2차원 공간에 적용하면, 군의 차원은 1이다.
3차원 공간에 적용하면, 군의 차원은 3이 된다(오일러 각도 세 개).
4차원 공간에 적용하면, 차원은 6이 된다.
우리는 방향성을 가진 특수 유클리드 군 SE(2)를 도입하였다:
(41)
회전과 평행이동을 결합한 것이다.
다음과 같이 표기하자:
(42)
그러면 행렬과 그 공간에 대한 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다:
(43)
참고:
(44)
우리의 2차원 평평한 공간, 즉 평면에서 우리는 다음과 같은 물체들을 찾을 수 있다:
(45)
이 특별한 물체들을 고려하자:
(46)
이들은 동일한 종류에 속한다. 임의의 두 물체 쌍을 취해도, 첫 번째를 두 번째로 옮기는 군의 원소를 찾을 수 있으며, 그 반대도 가능하다.
두 번째 물체 집합:
(47)
다른 종류에 속한다.
세 번째 집합 역시:
(48)
그러나:
(49)
회전과 평행이동 c의 조합으로 하나를 다른 것으로 옮길 수는 없다.
방향성을 가진 유클리드 군을 수정하여 이를 가능하게 할 수 있을까?
원문 (영어)
a4104
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Orthogonal matrixes. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?