a4105
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대칭성.
(49b)
이것은 무엇을 의미하는가?
네 개의 원소로 구성된 군(이산 군)을 고려해 보자.
(50)
다음과 같이 쓸 수 있다:
(51)
해당 작용은 다음과 같다:
(52)
명백히 x 좌표, y 좌표, 또는 둘 다를 반전시킬 수 있다.
개략적으로 표현하면:
(53)
(54)
(55)
(56)
이제 다음 행렬을 구성할 수 있다:
(57)
이 행렬 집합이 군을 이룬다는 것을 확인할 수 있다.
그들의 행렬식은:
(58)
det(a) = l m (cos²α + sin²α) = l m = ±1
역행렬이 다음과 같다는 것을 확인해 보자:
(59)
(60)
(61) 따라서:
(62)
그러므로:
(63)
...SO(2)(특수 직교군이라 불림)는 O(2)(직교군이라 불림)의 부분군이며, 행렬 a를 행렬 a로부터 다음과 같이 구성할 수 있다:
(64)
한편, 이들 행렬 중 많은 것이 중복된다. 예를 들어, 만약
(64b)
(65)
라면, 이는 (x → -x, y → -y)로 바꾸는 것이 π만큼의 회전과 동치임을 의미한다. 다음 그림을 참조하라.
(66)
우리는 행렬:
(67)
이 좌표계의 원점 O 주위의 단순한 회전에 대응함을 알고 있다.
더 일반적인 행렬:
(68)
의 의미는 무엇인가?
식 (69)에서 알 수 있듯이, a는 두 가지 연산의 조합에 해당한다:
- 축 OX 또는 OY 또는 둘 다에 대한 대칭.
- 원점 O 주위의 각도 α에 대한 회전.
(70)
그림에는 두 연산의 순서가 나타나 있다
(M1 → M4)
명백히 이는 원점 O를 지나는 직선에 대한 대칭과 동치이다.
(71)
...우리는 원래 직교군 O(2)를 구성한 특수 직교군 SO(2)를 보완하였다. 그 결과, 확장된 이 군이 원점 O를 지나는 모든 직선에 대한 거울 대칭을 포함하고 있음을 발견하였다.
(72)
원문(영어)
a4105
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Symmetries.
(49b)
What does it mean ?
Consider a group composed by four elements ( a "discrete group" ).
(50)
that I can write :
(51)
The corresponding action is :
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically :
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix :
(57)
We can check such set of matrixes form a group.
Their determinant is :
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Check the inverse matrix is :
(59)
(60)
(61) So that :
(62)
whence :
(63)
...SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrixes **a **from the matrixes a through :
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing ( x ---> - ; y ---> -y ) is equivalent to a rotation of p . See next figure.
(66)
We know that matrixes :
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrixes :
(68)
From :
(69)
we know that a corresponds to two combined operations :
- A symmetry with respect to axis OX , or OY , or both.
- A rotation a around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
( M1 ----> M4 )
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
...We have enriched the "special orthogonal group " SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discovers that this extended group contains mirror-symmetries : all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)