a4106
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군의 구성 요소
우리는 두 개의 군 SO(2)와 O(2)를 고려했다. 두 번째 군은 첫 번째 군을 포함한다.
첫 번째 군은 항등원을 포함한다. 우리는 군의 원소들을 다음과 같이 표현할 수 있다:
(73)
첫 번째 구성 요소의 원소들은 군(부분군)을 이룬다.
두 번째 구성 요소의 원소들은 여러 이유로 군을 이루지 않는다:
- 항등원 1을 포함하지 않는다.
- 두 번째 구성 요소에서 두 행렬을 선택할 수 있는데, 그들의 곱이 여전히 두 번째 구성 요소에 속하지 않을 수 있다. 예를 들어:
(74)
항등원 1을 포함하는 군의 구성 요소는
군의 중성 구성 요소라고 불린다.
다음으로 우리는 2, 4, 8개의 구성 요소를 가진 군을 고려할 것이다.
유클리드 군
이제 확장되고 풍부해진 이 군을 2차원 평행이동과 결합할 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻는다:
(75)
그리고 해당 유클리드 군의 대응 작용은:
(76)
알파벳 문자를 조작하고 규제하며 연구하기 위해 이 군을 사용한다고 가정해 보자.
집합을 다음 문자들로 제한한다: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
여러 크기들이 존재한다:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
우리는 G를 G로 변환할 수 있는 군의 원소나, 그 후속 군 작용이 존재하지 않음을 알고 있다. 왜냐하면 두 문자의 크기가 다르기 때문이다. 우리는 이러한 크기를 질량이라고 부르기로 결정한다. 그러면 G와 G는 서로 다른 질량을 가진 입자, 물체, 원자와 유사하게 된다. 이제 이 집합에 작용하는 군의 종류에 따라 달라진다. 만약 내가 다음을 사용한다면:
(78)
이 "세계"가 다음으로 채워져 있다고 가정하자:
(79)
일정한 크기(질량)와 각도의 스펙트럼이 존재한다. 어떤 군 작용을 적용하더라도, 러시아 알파벳에 속하는 문자를 찾을 수 없다:
(80)
그러나 확장된 군, 즉 유클리드 군을 사용하면 가능해진다:
(80b)
그러면 내 "세계"는 다음과 같이 변한다:
(81)
군은 문자들의 "동물원"을 풍부하게 만들었다. 그러나 내 동물원에서는 한 원소가 대칭에 대해 불변이다. 즉:
(82)
(83)
(84)
(85)
...
일반적으로, 평면 상의 어떤 직선에 대한 대칭(즉 2차원 거울)은 해당 문자의 "성질"을 바꾸지 않는다.
(86)
이 문자를 나는 "광자(photon)"라고 부르며, 변환
(87)
을 물질-반물질 이중성과 동일시한다. 그러면 전체적인 동물원을 얻게 된다:
(88)
같은 형태(성질)지만 크기가 다른 문자들을, 카르테시안 군을 사용하여 연결할 수 있다:
(89)
하지만 우리는 알파벳 문자를 기반으로 한 기본 입자의 완전한 유사 모델을 만들지는 않을 것이다. 어쨌든, 우리가 어디로 나아가고 있는지 어느 정도 보이기 시작했을 것이다. 군은 매우 단순한 모습을 지니고 있지만, 숨겨진 성질을 가지고 있다. 이러한 성질은 부분군에 따라 달라지며, 이 부분군들이 종을 형성한다.
유클리드 군은 유클리드 세계와 유클리드 동물원과 짝을 이룬다. 유클리드 기하학의 동물들은 구(sphere), 원기둥(cylinder), 각기둥(prism), 평면(plane), 직선(straight line), 삼각형(triangle) 등으로 불린다. 이들은 특정 부분군의 작용에 대해 불변이다. 수리오( Souriau )는 어떤 종에 속한 객체와 연결된 부분군을 그 객체의 정규성(regularity) 이라고 부른다.
예를 들어, 주어진 점 O 중심의 구들은 그 점을 중심으로 한 회전 부분군의 작용에 대해 불변이다.
-
불변이라는 사실은 "점 O 중심의 구"라는 종의 성질이라고 볼 수 있다.
-
반대로, 이 성질이 바로 그 종을 정의한다고 볼 수도 있다.
원문(영어)
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Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
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Conversely we can consider that this property *defines *the species.