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우리는 분류를 시도한다. 분류는 종의 정의에 기초한다.
같은 종에 속하는 두 개체는 공통된 성질을 가진다.
- 특정한 구를 하나 가져오자.
- 이 구를 불변으로 유지하는 대규모군(유클리드 군)의 부분군을 살펴보자. 수리외(Souriau)는 이러한 부분군을 구의 정칙성이라고 부른다.
- 이 부분군의 작용에 대해 불변인 모든 개체를 찾아보자. 그러면 주어진 점을 중심으로 하는 모든 구, 그 중에서도 반지름이 0인 구—즉 점—까지 모두 포함된다.
따라서 점은 "원점 중심의 구"라는 종에 속한다.
역으로 생각해보자:
- 3차원 공간의 한 점을 선택하자.
- 이 점을 불변으로 유지하는 유클리드 군의 부분군을 살펴보자. 그러면 정수직군 O(3)을 얻게 된다.
- 이제 이 부분군의 원소들에 의해, 해당 점을 중심으로 회전했을 때 불변인 모든 개체를 찾아보자. 그러면 그 점을 중심으로 하는 모든 구를 찾을 수 있으며, 이 점과 이러한 구들이 같은 종에 속함을 결론짓게 된다.
직선, 평면, 원기둥 등과 같은 개체들은 특정한 부분군과 연결된 종으로 '구성'될 수 있다.
...물리학에서는 기본 입자를 분류하고자 한다. 그러나 당신은 손가락 사이에 입자를 끼워서 확대경으로 들여다볼 수는 없다. 오직 그 입자의 행동, 즉 운동만을 관찰할 수 있을 뿐이다.
너의 움직임을 알려줘, 그러면 너가 무엇인지 말해줄게.
...나는 아주 오랜 친구인 장루이 피로슈(Philoché)가 있다. 그는 훌륭한 체스 선수다. 그는 눈을 가리고도 게임을 할 수 있다(프랑스어로 'jouer à l'aveugle', 체스판을 보지 않고). 당신이 한 수를 말해주기만 하면 된다:
b1-c3
비체스 선수에게는:
(90) 나이트의 움직임
...장루이는 머릿속에 모든 것을 기억해낸다. 어떻게 하는지 모르지만, 그건 작동한다. 이는 체스 말이 게임을 하기 위해 반드시 필요하지 않다는 것을 보여준다(컴퓨터도 필요 없다).
...어떤 방 안에 있다 가정하자. 옆집 사람 두 명이 '어떤 게임'을 하고 있다는 소리만 들린다. 그들을 보지 못하지만, 수를 발표하는 소리를 듣는다.
b2-b3 b7-b5 등등...
...당신은 생각한다: 뭔가를 움직이고 있구나. 이 게임은 무엇일까? 당신은 체스판을 가져와 작은 돌들을 놓고, 그들의 수를 종이에 차례로 기록한다. 열의 인덱스를 C, 행의 인덱스를 L이라 하자. 한 수는 다음과 같이 표현된다:
( DC , DL )
|DC| ≤ 1 이고 |DL| ≤ 1 이면: 왕의 움직임이다.
|DC| = |DL| 이면: 비숍의 움직임(대각선 방향).
|DC| × |DL| = 0 이면: 룩의 움직임.
|DC × DL| = 3 이면: 나이트의 움직임.
DL이 엄격히 양수면: 흰색 폰. DL이 엄격히 음수면: 검은색 폰.
이와 같이 계속해서, 행동에 기반한 '개체'들의 분류 체계를 구축할 수 있다.
다른 비유를 들어보자. 혼합된 볼트들이 담긴 상자가 있다. 이 볼트들을 분류하고 싶다. 무엇이 필요한가? 서로 다른 너트들이다.
(91)
- 하나의 볼트를 가져오자.
- 그 볼트에 맞는 너트를 찾아보자.
- 그 너트에 맞는 모든 볼트를 선택하자. 그러면 하나의 볼트 종이 만들어진다.
**정수직군 **O(3).
...위에서 2차원 상황에서 설명한 내용을 3차원으로 확장할 수 있다. 우리는 고정된 점(좌표계의 원점)을 중심으로 3차원 공간에서 회전하는 방법을 알고 있다. 이 회전은 오일러 각도라 불리는 세 각 a, b, g에 따라 결정된다. 이러한 행렬을 쓰지 않고, 단순히 다음과 같이 표기하자:
(92)
det (a) = +1
이는 정수직 행렬이다:
(92b)
...정수직군 O(3)은 모든 정수직 행렬로 이루어져 있으며, 그 행렬식이 -1인 것들도 포함한다. 이러한 행렬들을 우리는 (93)이라 부른다.
이전 절과 마찬가지로, SO(3)에서 다음을 통해 모든 정수직 행렬을 얻을 수 있다:
(94)
L은 대각행렬이다:
(95)
(96)
모든 것은 중복되지만, 이는 기본적인 대칭성을 즉시 드러낸다.
(97)
(98)
(98b)
(99)
물체의 방향을 뒤바꾸는 '거울 행렬'이 존재한다. 이러한 행렬은 물체를 거울 속 이미지로 변환한다:
(100)
이 거울 대칭에 의해 방향이 뒤바뀌는 방향성을 가진 물체의 예를 들어보자:
(101)
...이것은 힐베르트의 학생인 베른하르트 보이(Werner Boy)가 고안한 표면이다. 이 흥미로운 물체에 대해서는 수학 섹션에서 특별히 다뤄질 예정이다. 삼중점 T를 보여주기 위해 표면 일부를 제거했다.
...이러한 물체들 중 하나를 '오른쪽' 또는 '왼쪽'이라고 부를 수 있다. 그러나 누구도 보이의 표면에 대한 '오른쪽 회전'이 무엇인지 밝히지 않았다. 어쨌든, 왜 보이의 표면을 돌려야 하는가? 일부는 그것이 날 수 있다고 주장하지만, 나는 의심스럽다.
다음:
(102)
(103)
(104)
...2차원 기하학에서와 마찬가지로(원점에 대한 대칭), x축에 대한 대칭은 π 라디안의 회전과 동일하다. 마침내:
(105)
이것은 물체의 방향을 바꾼다.