보이 표면 모델의 다면체 표면, 스테이너의 로마 표면

크로스캡 표면을 보이 표면(오른쪽 또는 왼쪽, 선택 가능)으로 변환하는 방법

스테이너의 로마 표면을 거쳐.

이탈리아어: 안드레아 산부세티, 로마 대학교

../../Crosscap_Boy1.htm

2003년 9월 27일 - 10월 25일

4페이지

이제 우리는 모델을 또 다른 시각에서 제시하겠습니다:

표 14: 동일한 연산을 반복하여 교차 곡선의 세 번째 "귀"를 만듭니다. 다면체 모델에서는 이 마지막 부분이 공통된 꼭짓점을 가진 세 개의 정사각형 형태를 띕니다: 삼중점 T.

표 15: 물체를 회전시켜, 제가 토폴로기콘에서 소개한 보이 표면의 다면체 버전을 다시 찾을 수 있습니다(여기에서는 이를 만들 수 있는 조립도도 제공됩니다).

마지막 표: 저는 스테이너 표면이 어떻게 비틀리며 보이 표면으로 변하는지를 묘사하려고 노력했습니다.

"둥글게 그려진" 상태에서 보면, 이해하기 위해 꽤 많은 연습이 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 한 시선 안에서 두 개 이상의 면이 겹쳐지는 물체를 이해하는 데 우리 눈은 매우 불편함을 느낍니다. 그래서 다면체 모델이 중요한데, 누구나 스스로 모형을 만들어보는 시도를 통해 기하학에서 복잡하다고 여겨지는 변환을 손에 넣을 수 있게 해줍니다. 참고로, 선택한 쌍의 꼬리점에 따라 오른쪽 또는 왼쪽 보이 표면을 얻을 수 있습니다(이 정의는 완전히 임의적입니다). 실질적으로, 실수 평면은 두 개의 반사적인 "반자기동형" 표현을 통해 공간에 잠기게 됩니다. 따라서 오른쪽 보이 표면에서 왼쪽 보이 표면으로 이동하는 것은, 중앙의 스테이너의 로마 표면이라는 모델을 통해 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

이 그림들이 'Pour la Science'나 'La Recherche' 같은 잡지에 실리면 정말 멋질 텐데요. 하지만 20년 동안, 나는 우주비행체 이론에 대한 이탈로 인해 이 잡지에 게재하는 것이 "금지"되어 왔습니다. 고맙습니다, 허브 티스와 피에르 보랑제르 씨. 저는 이 잡지에 제안한 이와 같은 기사들을 수없이 제출했고, 정중히 거절당했습니다. 결국 스스로의 추방자라는 신분에 익숙해지게 됩니다.

흥미로운 에피소드 하나를 소개합니다. 수학 대중화 책을 쓴 저자에게 수여하는 '알랭베르 상'이 존재합니다. 이 이야기는 상을 결정하는 위원회에 속한 한 사람이 저에게 들려주었습니다(물론 돈 문제도 있긴 합니다). 대화 내용은 다음과 같습니다:

• 결국, 페티에게 상을 주지 않겠는가? 그는 '지오메트리콘', '블랙홀', '토폴로기콘' 같은 훌륭한 저서를 썼다.

• 네, 하지만 그는 그 이상도 했어.

• 무슨 말이지?

• 그는 '침묵의 벽'도 썼어.

• 아, 그러면...

맞습니다. 1983년에 출간된 '침묵의 벽'은 MHD(비행체의 비행을 가능하게 하는 과학)에 헌정된 앨범입니다. 그리고 우리 모두가 알고 있듯이, 이 부식성 과학의 특징(또는 단점)은 비행체가 폭발 없이 초음속으로 움직일 수 있게 해준다는 점입니다.

« 이 과학을 숨기라, 내가 보지 못하게 하라 »

제 상자 안에는 다면체 형태의 '정육면체 뒤집기'의 뛰어난 버전이 있는데, 모린의 변형의 다면체 버전이 아닙니다. 전부 제가 만든 것입니다. 언젠가 꼭 소개해 드리겠습니다.

2003년 10월 22일: 카운터를 보아하니, 이 페이지에 많은 노력이 쏟아지지 않았다는 것을 알 수 있습니다. 2003년 10월 13일 월요일, 트로트만의 초청으로 마르세이유의 샤토-꽁베르-수학정보센터(CMI)에서 세미나를 진행했습니다. 그때 저는 약 30개의 종이 모형을 꺼내 보여드릴 수 있었고, 이 모형들은 크리스토프 타르디가 사진으로 촬영했습니다. 언젠가 여러분도 이 모형들의 첫 공개를 즐기실 수 있을 것입니다.

세미나를 진행할 때는 특별한 분위기가 형성됩니다. 아래 사진에서 보시는 것처럼, 한 기하학자가 그의 의문을 표현하고 있습니다.

배경에는 제가 오랫동안 협력해온 동료 보리스 코레브가 도와서 전시한 모형들 중 일부가 있습니다. 그는 기하학자이기도 합니다. 어느 순간, 저는 질문을 던졌습니다:

• 여러분 중에서 스테이너의 로마 표면을 본 적 있는 분 계십니까? 손을 들어주세요.

결과는 아무도 본 적이 없었습니다. 그래서 이 물체를 가상현실 프로그램을 통해 소개하는 것이 유익할 것 같았습니다. 제가 가지고 있던 노트북에서 Christophe Tardy(공학자)와 그르노블의 라우-랑게빈 연구소(ILL)의 Frédéric Descamp의 도움을 받아 제작한 프로그램을 사용했습니다. 분명히 이 발표는 관객을 당황시켰습니다. 수학적 표면이 마음대로 회전하는 모습은 그들에게 익숙지 않았기 때문입니다.

앞쪽에 보이는 두 개의 종이 표는 모형들의 논리적 순서를 보여주는 데 도움이 되었습니다. 녹색과 노란색 모형은 다면체 형태로, 쌍의 꼬리점을 생성하고 해소하는 데 핵심적인 도구를 보여줍니다. 더 멀리 있는 흰색 물체는 크로스캡 표면의 다면체 버전이며, 먼저 스테이너의 로마 표면의 다면체 형태로 변환된 후, 한 미터 더 앞서서 원하는 대로 오른쪽 또는 왼쪽 보이 표면으로 변환됩니다.

모형들을 분석하면서 관객들 사이에서 여러 관찰이 제기되었습니다. 한 기하학자가 물었습니다:

• 만약 이 모형들을 이 순서대로 따라가면 크로스캡 표면에서 보이 표면으로 갈 수 있다면, 반대로 진행하면 보이 표면을 크로스캡 표면으로 변환할 수 있을 것 같습니다.

저는 긍정적으로 답했습니다. 자신감을 얻은 그는 추가로 말했습니다:

• 그렇다면, 스테이너의 로마 표면 단계에서 멈추면, 초기의 보이 표면의 반사된 형태로 되돌아올 수 있을 것입니다.

저는 다시 한번 동의했습니다. 그러나 안타깝게도, 이 이상한 세계에 대해 설명할 사람이 아무도 없었습니다. 여기서는 닫힌 표면의 잠기기 과정에서 쌍으로 생성되거나 해소되는 꼬리점이 허용되며, 이들의 집합은 잠기기 세계의 일종의 확장이 됩니다. 이에 대해 'summersion'(합잠기기)이라는 용어가 적절하다고 생각합니다. 만약 누군가 이에 대해 설명을 해줄 수 있다면, 환영합니다.

꼬리점에서 집중된 곡률

이 곡률은 꼭짓점에서의 각도 합을 계산하고, 유클리드 평면의 경우와 비교하여 구합니다: 2π.

좌상단에는 꼬리점의 여러 가능한 다면체 표현 중 하나를 볼 수 있습니다. 표면을 분해하면 각도 합이 2π를 2α만큼 초과하게 됩니다. 따라서 이 점 C 주변에 집중된 각도 곡률은 -2α입니다. 만약 각도 α가 π/2라면, 음의 곡률은 -π가 됩니다(아래 왼쪽 그림 참조). 실제로 꼬리점의 곡률은 무한한 값을 가질 수 있습니다. 오른쪽 아래에서는 각도 합을 더 크게 하여 곡률이 -π보다 작아지게 합니다(음의 곡률을 증가시킴).

역으로 작동하면, 매우 놀라운 상황에 도달할 수 있습니다: 점 C에 집중된 곡률(각도 곡률)이 ... 0이 되도록 만들 수 있습니다.

이제 크로스캡 표면의 다면체 표현에서 두 개의 꼬리점이 각각 곡률 -π를 가지는 경우를 시작해 봅시다:

이 그림에는 각각 +π/2의 값을 가진 여덟 개의 '포지콘'이 있습니다. 여기에 +π/4의 네 개의 '포지콘'과 -π/4의 네 개의 '네가콘'을 더합니다.

그리고 두 개의 곡률이 -π인 꼬리점.

합계: 2π

이 '전체 곡률' 값을 2π로 나누면, 실수 평면(또는 보이 표면)의 어떤 표현에서도 얻을 수 있는 오일러-포앵카레 특성값을 다시 얻게 됩니다.

세미나 도중 저는 구름을 뒤집는 방식을 이용해 크로스캡 표면의 두 꼬리점을 교환하는 예술적 방법에 대해 언급했습니다. 제가 웹사이트에 이 내용을 올렸는지 기억이 나지 않습니다. 너무 복잡해서요. 찾아봐야겠어요. 아니면 추가하겠습니다. 정말 재미있어요. 그런데 이 방법은 세미나에 참석한 한 사람에게는 전혀 맞지 않았습니다:

• 페티가 크로스캡의 두 꼬리점을 연결하는 대칭성을 보여주기 위해 왜 이렇게 복잡한 장비를 사용하는지 이해할 수 없습니다. 훨씬 더 간단하게 할 수 있어요.

그는 보드에 구멍이 난 구를 두 자루의 자 사이에 눌러 놓은 그림을 그렸습니다. 이 그림은 실제로 두 꼬리점이 끝점인 선분 형태의 자가 교차하는 구조를 보여주며, 크로스캡 표면과 유사합니다. 불행히도, 그 사람은 이 그림이 크로스캡 표면이 아니라는 것을 깨달았습니다.

• 뭐지, 그렇다면 도대체 뭐지? 누군가 물었습니다.

그것은 단지 두 개의 꼬리점을 가진 구의 잠기기일 뿐입니다. 이 두 꼬리점을 하나의 점으로 합치면 자가 교차하는 선분이 원형으로 변합니다. 그러면 (오른쪽 아래 그림처럼) 구의 잠기기 형태를 얻게 되며, 이는 표준 임베딩으로 변환하기만 하면 됩니다. 이 표면에 대해 다면체 표현도 제공할 수 있습니다:

이 표면은 양면이며, 전체 곡률은 2π입니다.

결국, 이런 '합잠기기'를 통해 우리는 매우 재미있게 놀 수 있습니다. 예를 들어, 무한 기호를 축을 중심으로 회전시켜 얻은 토러스의 잠기기를 고려해 봅시다:

꼬리점을 하나의 점으로 모으는 기법을 사용하면, 위의 그림들처럼 순차적으로 보여주듯이, 토러스의 표준 임베딩에 빠르게 도달할 수 있습니다.

하지만 모든 경우가 항상 쉽고 명확한 것은 아닙니다. 예를 들어, 두 선분 사이에 눌러진 구를 생각해 봅시다. 이번에는 선분이 지름보다 짧습니다. 여전히 두 개의 꼬리점이 생깁니다.

이 표면은 모비우스 띠를 포함하고 있으므로, 단면입니다. 우리는 이 표면의 다면체 표현을 함께 제시하여 전체 곡률을 계산할 수 있습니다. 그 결과는 0입니다. 제가 틀리지 않는다면, 이는 클라인 병일 것입니다. 일반적으로 우리는 클라인 병의 전통적인 잠기기만 알고 있으며, 자가 교차선이 단순한 원을 이룹니다. 그러나 이 외에도 다른 잠기기가 존재합니다. 예를 들어, 여기 있는 것처럼요. 저는 아직 이 형태를 일반적인 클라인 병으로 변환하는 방법을 찾지 못했습니다. 게다가, 이 '잠기기'와 전통적인 잠기기가 동일한 호모토피 클래스에 속하는지 여부도 알 수 없습니다(예를 들어, 구의 경우는 하나뿐입니다). 우선은 확정되지 않았습니다. 토러스는 3차원 공간에서 네 가지 다른 방식으로 잠길 수 있으며, 이들은 정칙 호모토피를 통해 서로 변환될 수 없습니다. 이 경우가 가능한지 여부를 알아보기 전까지, 저는 두 개의 추가 꼬리점을 만들어 두 개의 크로스캡을 관통하는 파이프로 연결하는 방식으로 변환하는 데 즐거움을 느꼈습니다. 분해해 보면, 오일러-포앵카레 특성이 0임을 다시 확인할 수 있습니다.

이 이상한 표면은 클라인 병의 네 가지 가능한 잠기기 중 하나로 변환되어야 하지만, 어떤 것일까요? 어떤 경우든, 이는 8자가 축을 중심으로 회전하면서 동시에 반 바퀴를 돈 상태에서 얻을 수 있습니다:

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