모델 표면의 기하학: 수학적 모델

크로스 캡 표면을 보이 표면(오른쪽 또는 왼쪽, 선택 가능)으로 변환하는 방법

스테이너의 로마 표면을 거쳐서.

이탈리아어: 안드레아 산부세티, 로마 대학교

../../Crosscap_Boy1.htm

2003년 9월 27일 - 10월 25일

4페이지

다시 한 번 다른 시각에서 모델을 제시합니다:

표 14: 동일한 연산을 반복하여 교차 곡선의 세 번째 "귀"를 만듭니다. 다면체 모델에서는 이 마지막 형태가 공통된 꼭짓점을 가진 세 개의 정사각형으로 나타납니다: 삼중점 T.

표 15: 물체를 회전시키면, 제가 토폴로콘에서 소개한 보이 표면의 다면체 형태를 다시 찾을 수 있습니다(여기에는 이를 조립할 수 있는 조립도도 포함되어 있습니다).

마지막 표: 저는 스테이너 표면이 꼬이고 보이 표면으로 변하는 과정을 묘사하려고 노력했습니다.

"둥글게" 그려진 모습을 보면, 이해하기 위해 상당한 연습이 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 우리가 한 줄의 시선에서 두 개 이상의 면이 겹쳐지는 물체를 이해하려 할 때, 우리의 눈은 매우 불편함을 느낍니다. 이 때문에 다면체 모델이 중요한데, 누구나 직접 모델을 만들어보는 시도를 통해 기하학에서 복잡하게 여겨지는 변환을 쉽게 이해할 수 있게 해줍니다. 참고로, 선택한 쌍의 정점(모서리)에 따라 오른쪽 또는 왼쪽 보이 표면이 만들어집니다(정의는 완전히 임의적입니다). 실질적으로, 실수는 두 개의 서로 거울상인 "반자기동형" 표현을 통해 공간에 잠기게 됩니다. 따라서 오른쪽 보이 표면에서 왼쪽 보이 표면으로 전환하는 데, 중앙 모델인 스테이너의 로마 표면을 거치는 것이 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

이 그림들이 'Pour la Science'나 'La Recherche' 같은 잡지에 실리면 정말 멋질 텐데요. 하지만 20년 동안, 나는 우주비행체에 대한 이론적 편향으로 인해 이 잡지에 게재하는 것이 "금지"되어 있습니다. 고맙습니다, 허브 티스와 피에르 보울랑제. 이런 종류의 기사들을 이 잡지에 여러 차례 제안했지만, 정중하게 거절당했고, 그 수를 세기조차 못했습니다. 결국, 내가 추방된 존재라는 상태에 익숙해지게 됩니다.

유쾌한 에피소드 하나를 소개합니다. 수학 대중화 서적을 쓴 저자에게 수여하는 '알랭베르 상'이 존재합니다. 이 이야기는 상을 결정하는 위원회에 속한 한 사람이 저에게 들려주었습니다(물론 돈 문제도 있긴 합니다). 대화 내용은 다음과 같습니다:

• 결국, 페티에게 상을 주지 않겠습니까? '기하학원', '블랙홀', '토폴로콘' 같은 훌륭한 저서를 썼잖아요.

• 네, 하지만 그는 그 이상도 했죠.

• 무슨 말이죠?

• '침묵의 벽'도 썼습니다.

• 아, 그렇군요, 그렇다면...

맞습니다. 1983년에 출간된 '침묵의 벽'은 MHD(비행체의 비행을 초음속으로 가능하게 하는, 부식성 과학)에 헌정된 앨범입니다. 그리고 누구나 아는 바와 같이, 이 과학은 비행체가 '펑' 없이 초음속으로 이동할 수 있도록 해주는 장점(또는 단점)을 지닙니다.

« 이 과학을 숨기세요, 내가 볼 수 없게 말이죠 »

제 서랍에는 다면체 형태의 '큐브 뒤집기'의 아름다운 버전이 있습니다. 이건 모린의 변형의 다면체 형태가 아닙니다. 전부 제 창작입니다. 어느 날 꼭 소개해 드리겠습니다.

2003년 10월 22일: 카운터를 보아하니, 이 페이지에 별로 신경 쓰지 않아도 되겠네요. 10월 13일 월요일, 트로트만의 초청으로 마르세이유의 샤토-콤베르-수학정보센터(CMI)에서 세미나를 진행했습니다. 그때 저는 30여 개의 종이 모델을 준비해 왔는데, 나중에 여러분께 처음으로 공개할 수 있도록 크리스토프 타르디가 사진을 찍어주었습니다.

세미나를 할 때는 특별한 분위기가 형성됩니다. 아래 사진에서 보시는 것처럼, 한 기하학자가 의문을 품은 모습을 볼 수 있습니다.

배경에는 제 오랜 협력자이자 기하학자인 보리스 코레프가 도와서 전시된 모델들 중 일부가 있습니다. 어느 순간, 저는 질문을 던졌습니다:

• 여러분 중에서 스테이너의 로마 표면을 본 적 있는 분은 있나요? 손을 들어보세요.

결과는 아무도 본 적이 없었습니다. 그래서 이 물체를 가상현실 프로그램을 통해 소개하는 것이 유익할 것 같았습니다. 이 프로그램은 크리스토프 타르디(엔지니어)와 그레노블의 라우에랑반 연구소(ILL)의 프레드릭 데스캄의 도움을 받아 제작했습니다. 분명히, 이 발표는 관객을 당황시켰습니다. 수학적 표면이 마음껏 뒤집히는 모습을 보는 것이 익숙하지 않기 때문입니다.

앞쪽에 보이는 두 개의 종이 표는 모델의 논리적 순서를 설명하는 데 도움이 되었습니다. 초록색과 노란색 모델은 다면체 형태로, 쌍의 정점(모서리)을 생성하거나 해체하는 데 핵심적인 도구를 보여줍니다. 더 멀리 있는 흰색 물체는 크로스 캡 표면의 다면체 형태로, 먼저 스테이너의 로마 표면의 다면체 형태로 변환된 후, 한 걸음 더 나아가 원하는 방향(오른쪽 또는 왼쪽)으로 보이 표면으로 변환됩니다.

모델을 분석하면서 관객들 사이에서 다양한 관찰이 나타났습니다. 한 기하학자가 질문했습니다:

- 만약 이 모델들을 이 순서대로 따라가면 크로스 캡 표면에서 보이 표면으로 전환할 수 있다면, 반대로 진행하면 보이 표면을 크로스 캡 표면으로 변환할 수 있을 것 같습니다.

저는 긍정적으로 답했습니다. 더 용기를 얻은 그는 추가로 말했습니다:

- 그렇다면, 스테이너의 로마 표면 단계에서 멈추면, 초기의 보이 표면에 대해 반사된 형태의 보이 표면으로 되돌아올 수 있을 것입니다.

저는 다시 한번 동의했습니다. 하지만 안타깝게도, 이 이상한 세계에 대해 설명할 수 있는 사람은 아무도 없었습니다. 여기서는 닫힌 표면의 잠기기 과정에서 정점(모서리)이 쌍으로 생성되거나 해체되며, 이들의 집합은 잠기기 세계의 확장처럼 보이는 현상을 허용합니다. 이에 대해 'summersion'(합침)이라는 용어가 적절하다고 생각합니다. 만약 누군가 이에 대해 설명을 해주실 수 있다면, 환영합니다.

정점(모서리)에 집중된 곡률

정점에서의 각도 합을 계산하고, 유클리드 평면의 경우와 비교합니다: 2π.

왼쪽 상단에는 정점(모서리)의 여러 가능한 다면체 표현 중 하나가 보입니다. 표면을 분해하면 각도 합이 2π를 초과하는 2α가 됩니다. 따라서 이 점 C 주위에 집중된 각도 곡률은 -2α입니다. 만약 각도 α가 π/2라면, 음의 곡률은 -π가 됩니다(아래 왼쪽 그림 참조). 실제로, 정점(모서리)의 곡률은 무한한 값을 가질 수 있습니다. 오른쪽 하단에서는 각도 합을 더 크게 강조하여 곡률이 -π보다 작아지게(음의 곡률을 더 크게) 만들었습니다.

역으로 작동하면, 매우 놀라운 상황에 도달할 수 있습니다: 점 C에 집중된 곡률(각도)이 ... 0이 되도록 만들 수 있습니다.

이제 크로스 캡 표면의 다면체 표현에서 두 개의 정점(모서리)을 각각 -π의 곡률로 가지는 경우를 시작해 봅시다:

이 그림에는 +π/2의 값에 해당하는 여덟 개의 "포지콘"(posicon)이 있습니다. 여기에 +π/4의 곡률을 가진 네 개의 "포지콘"과 -π/4의 곡률을 가진 네 개의 "네가콘"(negacon)을 더합니다.

더해서 두 개의 정점(모서리) 각각 -π의 곡률을 더합니다.

합계: 2π

이 "전체 곡률" 값을 2π로 나누면, 실수의 평면(또는 보이 표면)의 어떤 표현에도 해당하는 오일러-포앵카레 특성값을 얻게 됩니다.

세미나 도중 저는 구의 뒤집기 과정을 이용해 크로스 캡 표면의 두 정점(모서리)을 교환하는 방법과 예술적 접근을 언급했습니다. 제가 이 내용을 제 웹사이트 어디에 올렸는지 기억이 안 나네요. 너무 복잡해서요. 찾아서 추가해야겠어요. 재미있는 내용이에요. 그런데 이 작업은 세미나에 참석한 한 사람에게는 전혀 마음에 들지 않았습니다:

• 페티가 크로스 캡의 두 정점(모서리)을 연결하는 대칭을 보여주기 위해 왜 이렇게 복잡한 장비를 사용하는지 이해할 수 없습니다. 훨씬 간단하게 할 수 있습니다.

그는 보드에 구를 두 개의 자 사이에 눌러서 압축하는 그림을 그렸습니다. 이 그림은 실제로 두 정점(모서리)이 끝점인 선분 형태의 자기교차를 보여주며, 크로스 캡 표면과 유사합니다. 하지만 불행히도, 그 사람은 그 사실을 알아차렸습니다: 이건 크로스 캡 표면이 아닙니다.

• 뭐지, 도대체 뭐가 되는 거야? 누군가 물었습니다.

그저 두 개의 정점(모서리)을 가진 구의 잠기기일 뿐입니다. 이 두 정점(모서리)을 하나의 점으로 모아가면 자기교차선이 원이 되고, 결과적으로 구의 표면을 표준 임베딩 형태로 변환할 수 있습니다. 이 표면에 대해 다면체 표현도 가능합니다:

이 표면은 양면성이며, 전체 곡률은 2π입니다.

결국, 이런 '합침'을 통해 즐거운 실험을 할 수 있습니다. 예를 들어, 무한 기호를 축을 중심으로 회전시켜 만든 토러스의 잠기기를 고려해 봅시다:

정점(모서리)을 하나의 점으로 모아가는 기술을 이용하면, 위의 그림 순서대로 표준 임베딩 형태의 토러스에 빠르게 도달할 수 있습니다.

하지만 모든 경우가 항상 쉽고 명확하지는 않습니다. 예를 들어, 두 선분 사이에 구를 눌러 압축할 때, 이번엔 선분의 길이가 지름보다 짧은 경우를 생각해 봅시다. 여전히 두 개의 정점(모서리)이 생깁니다.

이 표면은 모비우스의 띠를 포함하고 있으므로, 단면입니다. 우리는 이 표면의 다면체 표현을 함께 제시하여 전체 곡률을 계산할 수 있습니다. 결과는 0이 나옵니다. 제가 틀리지 않는다면, 이는 클라인 병일 것입니다. 일반적으로는 자기교차선이 단순한 원인 고전적인 잠기기 형태만 알려져 있지만, 이와 같은 다른 형태도 존재합니다. 솔직히 말해, 이 형태를 일반적인 클라인 병으로 변환하는 방법을 아직 찾지 못했습니다. 게다가, 이 '잠기기'와 고전적인 잠기기가 같은 호모토피 클래스에 속하는지 여부도 모릅니다(예를 들어, 구의 경우는 하나뿐입니다). 우선은 확정되지 않았습니다. 토러스는 3차원 공간에서 네 가지 다른 방식으로 잠기며, 이들은 정칙 호모토피로 서로 변환될 수 없습니다. 이 경우에 가능한지 여부를 알아보기 전까지, 저는 이 형태를 더 많은 정점(모서리)을 만들어내어 두 개의 크로스 캡을 튜브로 연결한 형태로 변형해 보는 데 즐거움을 느꼈습니다. 이들을 분해하면, 오일러-포앵카레 특성이 0임을 다시 확인할 수 있습니다.

이 이상한 표면은 클라인 병의 네 가지 가능한 잠기기 중 하나로 변환되어야 하지만, 어느 것일까요? 어쨌든, 아래는 8자 형태를 축을 중심으로 회전시키면서 동시에 반 바퀴를 스스로 돌리는 방식으로 얻은 것입니다:

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