구면 위상수학 수학 모델
이탈리아어: 안드레아 산부세티, 로마 대학교
여기 클릭하여 1:1 스케일의 모델 도면을 보여주고, 인쇄 및 자르기 위해 사용할 수 있습니다. 두 가지 다른 색상의 브리스톨 카드지에 이 모델을 4개 복사한 후, 조립 지침에 따라 직접 모델을 만들 수 있습니다.
이 사이트의 초기 페이지 왼쪽에서 끊임없이 회전하는 이상한 물체를 보셨을 것입니다. 이건 무엇일까요?
언제가 시간이 생기면, 이 사이트에 1979년 1월 'Pour la Science' 잡지에서 그렸던 구면 뒤집기의 설명을 설치할 것입니다. 그때는 이미 22년 전이었죠! 이 설명을 위해선 많은 세부 사항과 소개가 필요합니다. '구를 뒤집다'는 말은 무엇을 의미할까요? 일반 사람에게 구는 고정된 점 O로부터 거리 R에 있는 공간의 점들의 집합일 뿐입니다. 그러나 기하학자에게는 감자처럼 변형된 '구'도 여전히 '구'라고 부릅니다. 이러한 개념을 더 정확히 이해하기 위해, 'Topologicon'이라는 만화가 수록된 란투르루 CD를 구입해 보세요. 그러나 수학자는 더 나아갑니다. 어떤 표면이 각 점에서 접선 평면을 정의할 수 있을 때, 이를 '정칙'이라고 합니다. 이는 감자와 같은 무수한 형태로 구를 정칙적으로 변형할 수 있음을 의미합니다. 또한 표면의 면적을 임의로 변화시킬 수 있습니다. 하지만 현실 세계에서는, 사람이 구를 뒤집어 표면의 내부를 바깥쪽으로 끌어내려고 할 때, 표면이 스스로를 통과시키는 것을 방지해야 하므로 불가능합니다. 이러한 가정, 즉 표면이 스스로를 교차하거나 심지어 접촉하는 것을 금지할 경우, 수학자는 이를 구 S²의 '임베딩'이라고 합니다. 그러나 수학자는 언제나 모든 것을 허용합니다. 수학자에게 구는 물리적인 것이 아니라 '가상의' 객체이며, 표면이 서로를 통과하는 것이 가능하다고 간주합니다. 아래의 그림들은 스스로를 교차하는 구를 보여줍니다. 이러한 교차를 허용하는 표현 방식을 '임무'라고 합니다.
임무는 자가 교차의 집합을 가집니다(여기서는 단순한 원형 곡선입니다). 그러나 접선 평면은 연속적으로 변해야 합니다. 이러한 전제 하에서 위의 그림을 보면, 내부 표면(초록색으로 표현됨)이 바깥쪽으로 이동하는 것을 확인할 수 있습니다. 뒤집기를 완성하려면, 이와 같은 적도부의 '관'을 압축해야 합니다. 그런데 이 압축 과정에서 접선 평면의 연속성이 깨지므로, 이 변환은 '임무'가 아닙니다.
한때 미국 수학자 스티븐 스말은 "구 S²는 오직 하나의 임무 클래스를 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 신비로운 문장은 '표준 구'에서 '반대점 대칭' 표현으로, 즉 각 점이 그 반대점과 교환되는 표현으로 전환하는 과정이, 오직 진정한 임무로 이루어진 변환을 통해 가능하다는 것을 의미합니다. 간단히 말해, 뒤집힌 구입니다. 스말의 지도교수였던 라울 보트는 이 사실의 형식적 증명이 정확하다는 데는 동의했지만, 누구도 실제로 이 뒤집기 과정을 구체적으로 실현할 수 없다는 점에 놀라곤 했습니다. 보트는 스말에게 "어떻게 하면 되는지 보여줄 수 있겠어?"라고 계속 물었고, 스말은 유명하게 "정말로 전혀 모르겠다"고 답했습니다. 이후 스말은 수학계의 노벨상이라 할 수 있는 필드 메달을 수상했습니다. 참고로, 왜 수학에 노벨상이 없는지 궁금할 수 있습니다. 그 답은 간단합니다. 그의 아내가 수학자와 도망쳤기 때문이죠.
이런 상태는 오랫동안 지속되었고, 1967년 미국 수학자 앤서니 필립스가 '사이언티픽 아메리칸'에 이 뒤집기의 매우 복잡한 첫 번째 버전을 발표했습니다. 두 번째 버전은 1970년대 초 프랑스 수학자(시각장애인) 베르나르 모린이 개발했습니다. 저는 이 변환의 순차적 과정을 처음으로 그렸으며, 이는 제가 이미 이 사이트에서 발표할 예정인 다음 기사의 주제가 될 것입니다. 물론, 이 모든 것은 다음과 같은 생각으로 이어집니다. 표면은 다면체 형태로 표현될 수 있습니다. 정육면체나 정사면체는 같은 위상 구조를 가지므로, 구의 다면체 표현으로 간주될 수 있습니다. 이 점에 대해서는 제 'Topologicon'을 참고하세요. 또한 구를 뒤집는 것이 가능하다면, 정육면체도 마찬가지로 뒤집을 수 있다는 점을 알 수 있습니다. 베르나르 모린이 고안한 변환은 중심 모델을 거칩니다. 이 순서에는 대칭이 존재합니다. 저는 이를 '4개의 귀를 가진 중심 모델'이라고 부릅니다. 이 부분은 미리 언급한 것입니다. 그러나 구가 다면체로 표현될 수 있듯이, 이 변환의 다음 단계도 마찬가지로 다면체로 표현할 수 있습니다. 제가 초기 페이지에서 회전시키는 것은, 약 10년 전 제가 고안한 구 뒤집기 중심 모델의 다면체 버전입니다. 이러한 다면체 모델의 장점은 평면 표면으로 만들 수 있다는 점입니다. 또한 종이와 가위로도 만들 수 있습니다. 아래 그림을 보세요 (여기서는 제 친구 크리스토프 타르디가 적절한 크기의 요소를 제작해 주었다는 점을 감사히 생각합니다).
이것은 조립도의 일반적인 시각입니다. 그러나 인쇄하려면 '자르기' 페이지로 이동하는 것이 좋습니다. 인쇄하세요. 그런 다음 일반 인쇄용 종이에 인쇄한 예시를 4장 복사해, 녹색과 노란색 브리스톨 카드지 각각 2장씩 사용하세요. 이렇게 자르기 쉬운 종이를 이용해 정육면체 뒤집기의 중심 모델을 만들 수 있습니다.
자르기 위한 요소에는 a, b, c, d, e, f 등과 같은 문자 쌍이 있습니다. 동일한 문자가 겹치도록 접은 후, 투명 테이프로 면을 고정하면 됩니다. 다음 그림들은 네 개의 요소 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 먼저 네 개의 요소 중 하나를 접는 방법입니다:
다음은 서로 다른 각도에서 본 네 개의 요소 중 두 개입니다.
이 요소들을 4차 대칭을 가지도록 배열하여, 녹색과 노란색 요소가 번갈아 나오도록 합니다. 3차원적으로 보려면, 타르디의 실현된 결과를 '가상 현실' 섹션에서 확인하세요. 이 섹션에서는 중심 모델이 조립되어 있으며, VRML 형식으로도 구현되어 있습니다. 아래는 다양한 각도에서 본 모델입니다:
위 아래를 '위'와 '아래'라고 정의할 수 없습니다. 왜냐하면 이 이름들은 완전히 임의적이기 때문입니다. 왼쪽 이미지의 중심점은 모린의 중심 모델에서 두 면이 교차하는 '이중점'에 해당하며, 오른쪽 이미지의 중심점은 동일한 모델에서 네 면이 교차하는 '사중점'에 해당합니다. 저는 왼쪽 이미지가 십자군 문양을 연상시키지 않도록 매우 신중하게 물체를 방향을 정했습니다. 그 외에, 건축적으로 볼 때, 이 모린 중심 모델의 다면체 표현은 사회주의 국가 문화관의 훌륭한 프로젝트가 될 수 있었을 것입니다.
마지막으로 한 가지 관찰할 점은, 구(또는 정육면체) 뒤집기의 좋은 다면체 표현이 존재하지 않는다는 것입니다. 여기서 '좋은'이라는 의미는 위의 모델처럼, 비교적 쉽게 자르기 위한 종이 형태로 설명할 수 있는 충분히 명확한 모델들의 연속을 말합니다. 이 방향으로 연구를 해볼 만한 일입니다. 수학자가 아니더라도 누구나 할 수 있으며, 예를 들어 조각가도 가능합니다. 20년 전, 저는 아시에-앙-프로방스의 아카데미 미술학교에서 조각 교사였으며, 그 시절 지도를 맡았던 제 친구 자크 브리에의 지도 아래 있었습니다. 그곳에서 처음으로 보이 표면의 '남북 방향' 표현이 타원을 통해 이루어졌으며, 이는 아페리가 제시한 첫 번째 은함수 방정식의 핵심이 되었습니다. 당시 저는 예술 학생들의 기하학적 상상력이 종종 '기하학자들'의 그것보다 뛰어났다는 점에 놀랐습니다.
설치일: 2001년 12월 31일. 접속 수:
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